höchstens ein Fixpunkt < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:42 Di 23.11.2010 | | Autor: | ilfairy |
| Aufgabe | Sei [mm]f: \IR \rightarrow \IR[/mm] differenzierbar mit [mm]f'(x) \ne 1 \forall x \in \IR[/mm].
Zu zeigen: [mm]f[/mm] hat höchstens einen Fixpunkt. |
Hallo!
Ich brauch mal wieder einen Anschubser  Diesmal zu einer Aufgabe aus meinen Hausaufgaben.
Erst hab ich überlegt, ob ich einfach widerlegen soll, dass es nicht zwei verschiedene Fixpunkte gibt, aber ich denke, dass das wohl nicht gemeint ist, sondern durch den Fixpunktsatz von Banach Existenz und Eindeutigkeit zu zeigen ist.
Überprüfen der Voraussetzungen:
[mm]\IR[/mm] ist vollständiger, metrischer Raum und abgeschlossen (Metrik ist Betrag).
[mm]f[/mm] ist Selbstabbildung.
noch zu zeigen:
[mm]f[/mm] ist kontrahierend.
Beweis:
[mm]f: \IR \rightarrow \IR[/mm] ist differenzierbar auf [mm]\IR[/mm] und [mm]\IR[/mm] ist konvex, somit kann ich den Mittelwertsatz der Differentialrechnung anwenden, d.f.
es ex. eine Zwischenstelle [mm]\xi := x_0 + t*(x - x_0), t\in (0,1)[/mm], s.d.
[mm]|f(x) - f(x_0)| \le |f'(\xi)(x - x_0)| \le |f'(\xi)| |(x-x_0)|[/mm]
Dann ist [mm]f[/mm] kontrahierend (Lipschitz-stetig mit Lipschitzkonstante [mm]L:= |f'(\xi)|[/mm]), falls gilt:
[mm]0 \le |f'(\xi)| \le 1[/mm]
Aber was ist mit dem Fall [mm]|f'(\xi)| > 1[/mm]? Ist [mm]f[/mm] dort nicht kontrahierend?
Vielen Dank schonmal im Voraus :-D
Ich hab die Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 Di 23.11.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo ilfairy,
du hast eigentlich alle Zutaten schon genannt, setze sie aber mal so zusammen:
Angenommen, es gibt zwei Fixpunkte.
Jetzt Mittelwertsatz anwenden...
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 Di 23.11.2010 | | Autor: | ilfairy |
Nein, wirklich? Ist es doch so simpel?
Beweis:
Angenommen es existieren zwei Fixpunkte [mm]\dot x, \hat x \in \IR[/mm], d.h. [mm]f(\dot x) = \dot x[/mm] und [mm]f(\hat x) = \hat x[/mm].
Sei o.B.d.A. [mm]\dot x < \hat x[/mm].
Ich definiere das Intervall [mm]I := [\dot x, \hat x] \subset \IR[/mm].
Da I abgeschlossen und f stetig und differenzierbar auf [mm]I \subset\IR[/mm] ist, kann man den Mittelwertsatz anwenden, d.h.
es ex. mind. ein [mm]x_0 \in I[/mm], s.d.
[mm]f'(x_0) = \frac{f(\hat x) - f(\dot x)}{\hat x - \dot x} = \frac{\hat x - \dot x}{\hat x - \dot x} = 1[/mm]
Widerspruch zur Annahme!
Ich hoffe, dass das soweit richtig aufgeschrieben ist!
Vielen Dank Marc!
[mm][/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:49 Di 23.11.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo ilfairy,
> Nein, wirklich? Ist es doch so simpel?
>
> Beweis:
> Angenommen es existieren zwei Fixpunkte [mm]\dot x, \hat x \in \IR[/mm],
Ich mag deine Bezeichnungen
> d.h. [mm]f(\dot x) = \dot x[/mm] und [mm]f(\hat x) = \hat x[/mm].
> Sei
> o.B.d.A. [mm]\dot x < \hat x[/mm].
>
> Ich definiere das Intervall [mm]I := [\dot x, \hat x] \subset \IR[/mm].
>
> Da I abgeschlossen und f stetig und differenzierbar auf [mm]I \subset\IR[/mm]
> ist, kann man den Mittelwertsatz anwenden, d.h.
> es ex. mind. ein [mm]x_0 \in I[/mm], s.d.
> [mm]f'(x_0) = \frac{f(\hat x) - f(\dot x)}{\hat x - \dot x} = \frac{\hat x - \dot x}{\hat x - \dot x} = 1[/mm]
>
> Widerspruch zur Annahme!
>
>
>
> Ich hoffe, dass das soweit richtig aufgeschrieben ist!
Ja, ich denke schon, jedenfalls hatte ich mir das genau so vorhin vorgestellt; schön, dass es klappt! 
Viele Grüße,
Marc
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