www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Vektoren" - höhenschnittpunkt im Raum 3
höhenschnittpunkt im Raum 3 < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Vektoren"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

höhenschnittpunkt im Raum 3: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:47 So 05.09.2010
Autor: Laura_88

Aufgabe
Berechnen Sie den Höhenschnittpunkt und die Eulersche Gerade des Dreiecks A(4/1/-3), B(7/2/8) und C(1/1/-1)

im 2 dimensionalen raum ist mir klar wie man das berechnet als schnittpunkt der seitenhöhen aber ich habe keine ahnung wie das hier geht! Was muss ich denn da machen! Muss ich da auch eine seitenhöhe berechnen, wenn ja wie stell ich da eine Seitenhöhe auf?

danke im voraus

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
höhenschnittpunkt im Raum 3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:02 So 05.09.2010
Autor: abakus


> Berechnen Sie den Höhenschnittpunkt und die Eulersche
> Gerade des Dreiecks A(4/1/-3), B(7/2/8) und C(1/1/-1)
>  im 2 dimensionalen raum ist mir klar wie man das berechnet
> als schnittpunkt der seitenhöhen aber ich habe keine
> ahnung wie das hier geht! Was muss ich denn da machen! Muss
> ich da auch eine seitenhöhe berechnen, wenn ja wie stell
> ich da eine Seitenhöhe auf?

Hallo,
die Höhe [mm] h_a [/mm] liegt auf einer Geraden, die vom Punkt A zu einem Punkt X auf der Gerade BC geht. Das besondere an diesem speziellen Punkt X ist, dass das Skalarprodukt [mm] \overrightarrow{AX}\cdot\overrightarrow{BC} [/mm] Null ergeben muss. (Warum?)
Auf die gleiche Weise brauchst du noch eine zweite Höhe, der Rest ist simple Schnittpunktbestimmung zweier Geraden.
Gruß Abakus

>  
> danke im voraus
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
höhenschnittpunkt im Raum 3: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:08 So 05.09.2010
Autor: Laura_88

Ich habe mir jetzt X ausgerechnet, X(4/1/3)
Kann das stimmen?
und dann muss ich ha aufstellen.

wie?

vielleicht so: ha: X = [mm] X_{1} [/mm] + t [mm] \* \vec{a} [/mm]

und [mm] X_{1} [/mm] ist X(4/1/3)
und [mm] \vec{a} [/mm] ist [mm] \overrightarrow{XA} [/mm]



Bezug
                        
Bezug
höhenschnittpunkt im Raum 3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:25 So 05.09.2010
Autor: abakus


> Ich habe mir jetzt X ausgerechnet, X(4/1/3)
>  Kann das stimmen?

Hallo,
das kann nicht stimmen.
Der Punkt (4|1|3) liegt nicht auf der Geraden BC.
Gruß Abakus

>  und dann muss ich ha aufstellen.
>  
> wie?
>  
> vielleicht so: ha: X = [mm]X_{1}[/mm] + t [mm]\* \vec{a}[/mm]
>  
> und [mm]X_{1}[/mm] ist X(4/1/3)
>  und [mm]\vec{a}[/mm] ist [mm]\overrightarrow{XA}[/mm]
>  
>  


Bezug
                                
Bezug
höhenschnittpunkt im Raum 3: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:46 So 05.09.2010
Autor: Laura_88

irgendwie versteh ich das noch immer nicht kannst du mir das irgendwie  nochmal genauer erklären! AX * BC  = 0 verstehe ich weil deil die ja normal aufeinander stehen sollen aber ich kommen nicht auf h!

Danke im Voraus

Bezug
                                        
Bezug
höhenschnittpunkt im Raum 3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:21 Mo 06.09.2010
Autor: angela.h.b.


> irgendwie versteh ich das noch immer nicht kannst du mir
> das irgendwie  nochmal genauer erklären! AX * BC  = 0
> verstehe ich weil deil die ja normal aufeinander stehen
> sollen aber ich kommen nicht auf h!
>  
> Danke im Voraus

Hallo,

[willkommenmr].

Erstmal wolltest Du doch den Punkt X berechnen.
Den brauchen wir.

Vielleicht machst Du mal vor, was Du hierfür gerechnet hast.

Die Gleichung der Geraden, auf welcher [mm] h_a [/mm] liegt, kannst Du leicht aufstellen, indem Du den berechneten Punkt X verwendest:
Die Gerade geht durch X und weist in Richtung [mm] \overrightarrow{XA}, [/mm] das sagst Du in Deinem Beitrag ja selbst.

Es hängt also alles am falsch berechneten X, und da können wir nur helfen, wenn wir die Rechnung sehen.

Andere Möglichkeit - mir gefällt sie besser:
Du kannst den Normalenvektor der Ebene, in der das Dreieck liegt, berechnen, dann einen zum Normalenvektor und [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] senkrechten Vektor. Dies ist der Richtungsvektor von [mm] h_a. [/mm] Wenn Du dann noch bedenkst, daß [mm] h_a [/mm] durch A geht, steht Deine Geradengleichung auch.

Gruß v. Angela




Bezug
                                                
Bezug
höhenschnittpunkt im Raum 3: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:46 Mo 06.09.2010
Autor: Laura_88

[mm] \overrightarrow{AX} [/mm] * [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] = 0

daraus habe ich mir X berechnet

ich weiß es ist falsch, aber ich weiß nicht wie man x sonst berechnet!



Bezug
                                                        
Bezug
höhenschnittpunkt im Raum 3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:03 Mo 06.09.2010
Autor: reverend

Hallo Laura,

das ist nicht falsch, nur noch nicht die vollständige Bedingung. Unendlich viele verschiedene X erfüllen Deine Gleichung

> [mm]\overrightarrow{AX}[/mm] * [mm]\overrightarrow{BC}[/mm] = 0

Die zweite Bedingung ist aber, dass X auf der geforderten Seite liegt. Und dann ist der Punkt eindeutig.

Das ist anschaulich ja auch klar. Die erste Bedingung (Skalarprodukt) fordert ja nur, dass der Vektor [mm] \overrightarrow{AX} [/mm] senkrecht auf dem Vektor [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] steht. Solche Vektoren werden durch eine Gerade repräsentiert, die senkrecht auf der (verlängerten) Gerade durch B und C steht, und zugleich durch den Punkt A geht. Mehr liefert die Bedingung nicht. Du kannst also so höchstens eine Richtung bestimmen.

Du brauchst aber den Ortsvektor [mm] \vec{X}, [/mm] also den des Punktes, der genau der Schnittpunkt der beiden gefundenen Geraden ist.

Grüße
reverend


Bezug
                                                                
Bezug
höhenschnittpunkt im Raum 3: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:22 Mo 06.09.2010
Autor: Laura_88

irgenwie ist mi klar das ich da 2 geraden aufstellen muss die ich dann schneiden muss, die eine hab ich schon: g: X= (7/2/8)+s*(-6/-1/-9) aber die andere die durch A und X geht weiß ich nicht wie ich auf die komme. Vorallem weil ich den vektor nicht bekomm den ich da noch brauch weil A hab ich ja!

Bezug
                                                                        
Bezug
höhenschnittpunkt im Raum 3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:27 Mo 06.09.2010
Autor: reverend

Hallo Laura,

es gibt, wie gesagt, unendlich viele solche Vektoren. Einen wirst Du doch finden:

Er liegt in der gleichen Ebene wie das Dreieck (noch eine Bedingung) und steht senkrecht auf der Seite.
Anders gesagt, er steht senkrecht auf dem Normalenvektor der Ebene und senkrecht auf dem Richtungsvektor der Seite.

Da sollte bei Dir direkt das Wort "Kreuzprodukt" (oder Vektorprodukt) klingeln...

;-)
reverend


Bezug
                                                                                
Bezug
höhenschnittpunkt im Raum 3: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:57 Mo 06.09.2010
Autor: Laura_88

ok! ich hab ja schon mal die gerade g stimmt die wenigstes?
also ich wollte eine gerade h aufstellen mit punkt a und dem normalvektor den ich aus BC x BA bekommen wollte stimmt das soweit oder bin ich da schon falch? Der ist bei mir (2/-39/3). Dann hab ich beide geraden geschnitten nur fallen mir dann beide parameter weg was ja dann auch nicht richtig sein kann!

Bezug
                                                                                        
Bezug
höhenschnittpunkt im Raum 3: Idee (Ebene)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:44 Mo 06.09.2010
Autor: Laura_88

Da ich so nicht weiterkomme, habe ich mir überlegt drei Ebenen zu bilden und die dann zu schneiden, dann müsste ich ja auch den höhenschnittpunkt bekommen, oder??

meine 3 ebenen lauten:

E1: 3x + y + 11z = -7
E2: -3x - y + 2Z = -5
E3: -6x - y - 9z = 2

als H würde ich ((41/39) / 0 / (-12/13)) erhalten.

Stimmt das?

Bezug
                                                                                                
Bezug
höhenschnittpunkt im Raum 3: fast gut!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:18 Mo 06.09.2010
Autor: reverend

Hallo nochmal,


> Da ich so nicht weiterkomme, habe ich mir überlegt drei
> Ebenen zu bilden und die dann zu schneiden, dann müsste
> ich ja auch den höhenschnittpunkt bekommen, oder??

Das ist eine interessante Idee. Sie funktioniert, wenn Du die richtigen drei Ebenen nimmst. Es kommen vier in Frage, eine bestimmte davon muss dabei sein und zwei der anderen drei.

Also, schaun wir mal:

> meine 3 ebenen lauten:
>  
> E1: 3x + y + 11z = -7 [ok] Ebene senkrecht auf [mm] \overline{AB} [/mm] und durch C
>  E2: -3x - y + 2Z = -5 [notok] hier stimmt der y-Koeffizient nicht.

E2: -3x+2z=-5 Ebene senkrecht auf [mm] \overline{AC} [/mm] und durch B

>  E3: -6x - y - 9z = 2 [ok] Ebene senkrecht auf [mm] \overline{BC} [/mm] und durch A

Diese drei Ebenen schneiden sich aber nicht in einem Punkt, sondern haben eine gemeinsame Gerade. Diese führt allerdings durch gesuchten Höhenschnittpunkt.

> als H würde ich ((41/39) / 0 / (-12/13)) erhalten.

Wie das, wenn das Ergebnis doch eine Gerade sein muss?
Oder hast Du mit der einzigen "Pflichtebene" geschnitten, nämlich derjenigen, in der das Dreieck liegt? Du brauchst zwei der von Dir oben angegebenen Ebenen und die Ebene des Dreiecks. Dann ist der Schnittpunkt der gesuchte Punkt.

> Stimmt das?

Weiß nicht, da müsste ich ja selber die Dreiecksebene nachrechnen und überhaupt...
Mir geht es gerade nur um den Weg, und Dein Grundansatz ist einfallsreich und eben auch möglich.

Grüße
reverend


Bezug
                                                                                                        
Bezug
höhenschnittpunkt im Raum 3: Stimmt Lösung?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:20 Mo 06.09.2010
Autor: Laura_88

stimmt E2: -3x + 2z = -5 (danke für den Hinweis)

gerade ist ((5/3) / -12 / 0) + t* ((2/3) / -13 / 1)

die Ebene mit der ich g schneiden muss lautet :

E: X = (4/1/-3) + s * (3/1/11) + t * (-3/0/2)

allgemeine Form der Ebene: 2x + 39y + 3z = 38

habe dann Ebene mit gerade geschnitten, der Parameter t = -1

und der Punkt dann (1/1/1) -> ist das dann mein Höhenschnittpunkt???

Bezug
                                                                                                                
Bezug
höhenschnittpunkt im Raum 3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:59 Mo 06.09.2010
Autor: reverend

Igitt, da muss ich ja selbst rechnen.

> gerade ist ((5/3) / -12 / 0) + t* ((2/3) / -13 / 1) [ok]
>  
> die Ebene mit der ich g schneiden muss lautet :
>  
> E: X = (4/1/-3) + s * (3/1/11) + t * (-3/0/2) [ok]
>  
> allgemeine Form der Ebene: 2x + 39y + 3z = 38 [notok]

-2x+39y-3z=40

> habe dann Ebene mit gerade geschnitten, der Parameter t =
> -1

Der stimmt dann wieder. Wieso eigentlich?

> und der Punkt dann (1/1/1) -> ist das dann mein
> Höhenschnittpunkt???

Na, Einsetzen ergibt aber [mm] \vektor{1\\1\\-1}. [/mm]

Das ist nun aber einer der gegebenen Eckpunkte. Kann das sein? Und wenn ja, was heißt das für das Dreieck? Kann man da noch was überprüfen?

Grüße
reverend


Bezug
                                                                                                                        
Bezug
höhenschnittpunkt im Raum 3: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:23 Di 07.09.2010
Autor: Laura_88

wieso ist mein Normalvektor der Ebene falsch n= (3/1/11) X (-3/0/2) = (1*2-11*0 / -(3*2-(-3)*11) / 3*0-(-3)*1) = (2/39/3)
zumindest hab ich das ausrechnen so gelernt.

und wenn H = C (1/1/-1) ist, liegt ein rechtwinkliges Dreick vor. Das heißt die Lösung lautet H = C

und die eulersche gerade kann ich mir dann so ausrechnen:
e: S+t*(S-H)

Wobei S ((A+B+C)/3 ist

Bezug
                                                                                                                                
Bezug
höhenschnittpunkt im Raum 3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:36 Di 07.09.2010
Autor: reverend

Hallo Laura,

> wieso ist mein Normalvektor der Ebene falsch n= (3/1/11) X
> (-3/0/2) = (1*2-11*0 / -(3*2-(-3)*11) / 3*0-(-3)*1) =
> (2/39/3)
>  zumindest hab ich das ausrechnen so gelernt.

Der Ansatz stimmt, nur ist -(3*2-(-3)*11)=-39.

> und wenn H = C (1/1/-1) ist, liegt ein rechtwinkliges
> Dreick vor. Das heißt die Lösung lautet H = C

[daumenhoch]

> und die eulersche gerade kann ich mir dann so ausrechnen:
>  e: S+t*(S-H)
>
> Wobei S ((A+B+C)/3 ist  

Auch: völlig richtig.
Du kannst es offenbar, es ist nur inzwischen zu spät, um noch fehlerfrei zu denken. Hier jedenfalls. ;-)

Grüße
reverend

PS: Deine Idee mit den drei (oder vier) Ebenen finde ich immer noch richtig gut. Die steht so bestimmt nicht im Lehrbuch.


Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
höhenschnittpunkt im Raum 3: Dankeschön!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:42 Di 07.09.2010
Autor: Laura_88

VIELEN DANK für deine Hilfe.

War echt schon am verzweifeln.


Bezug
                                                                                        
Bezug
höhenschnittpunkt im Raum 3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:08 Mo 06.09.2010
Autor: reverend

Den Normalenvektor habe ich jetzt nicht nachgerechnet, aber wenn beide Parameter wegfallen, muss noch irgendwo ein Fehler sein, den ich nur finden kann, wenn ich die Rechnung sehe.

Mir scheint es aber besser, Du verfolgst den neuesten Hinweis von Abakus. Das ist der direkte und stringente Weg, den ich Dir empfehlen würde.

Grüße
reverend


Bezug
                                                                        
Bezug
höhenschnittpunkt im Raum 3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:59 Mo 06.09.2010
Autor: abakus


> irgenwie ist mi klar das ich da 2 geraden aufstellen muss
> die ich dann schneiden muss, die eine hab ich schon: g: X=
> (7/2/8)+s*(-6/-1/-9) aber die andere die durch A und X geht

AHA!
Der Ortsvektor eines beliebigen Punktes X auf BC lässt sich also beschreiben durch [mm] \overrightarrow{OX}=(7/2/8)+s*(-6/-1/-9). [/mm]
Der Vektor von A nach X hat dann die Form
[mm] \overrightarrow{AX}=\overrightarrow{OX}-\overrightarrow{OA}= [/mm] (7/2/8)+s*(-6/-1/-9)  -(4/1/3)
=(3-6s/1-s/5-9s).
Bilde davon das Skalarprodukt mit [mm] \overrightarrow{BC}, [/mm] setze es Null, um du erhälts einen Wert für s (der Wert, mit dem du auf der Geraden BC den gesuchten Höhenfußpunkt erhältst).
Gruß Abakus

> weiß ich nicht wie ich auf die komme. Vorallem weil ich
> den vektor nicht bekomm den ich da noch brauch weil A hab
> ich ja!


Bezug
                                                                                
Bezug
höhenschnittpunkt im Raum 3: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:37 Mo 06.09.2010
Autor: Laura_88

oki, danke hab mir jetzt X ausgerechnet:
((221/59) / (86/59) / (184/59))

ziemlich blöde Koordinaten.

damit ich mir jetzt den Höhenschnittpunkt ausrechnen kann muss ich jetzt ha aufstellen:

X = [mm] X_{1} [/mm] + t * [mm] \vec{a} [/mm]

[mm] X_{1} [/mm] = A

[mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \overrightarrow{XA} [/mm]

und dann z.B.: hc
muss ich mir dann hier wieder einen Punkt X ausrechnen der auf der Seite AB liegt?!


Bezug
                                                                                        
Bezug
höhenschnittpunkt im Raum 3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:04 Di 07.09.2010
Autor: angela.h.b.


> oki, danke hab mir jetzt X ausgerechnet:
> ((221/59) / (86/59) / (184/59))

Hallo,

ich habe die erste Koordinate nachgerechnet, die stimmt.
Die anderen prüfe ich jetzt nicht mehr - das Prinzip ist ja klar.
(Es war s=32/59, sowas solltest Du ruhig mitteilen.)


>  
> ziemlich blöde Koordinaten.

Ja.

>  
> damit ich mir jetzt den Höhenschnittpunkt ausrechnen kann
> muss ich jetzt ha aufstellen:
>  
> X = [mm]X_{1}[/mm] + t * [mm]\vec{a}[/mm]
>  
> [mm]X_{1}[/mm] = A
>  
> [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\overrightarrow{XA}[/mm]

Das kannst Du machen, Du kannst als Aufpunkt, also als [mm] X_1 [/mm] natürlich auch den soeben berechnetn Punkt nehmen.

>  
> und dann z.B.: hc
> muss ich mir dann hier wieder einen Punkt X ausrechnen der
> auf der Seite AB liegt?!

Ja, genau.

Beachte aber doch auch die zweite Möglichkeit der Berechnung des gesuchten Richtungsvektors der Höhengerade, welche ich Dir gestern mitgeteilt hatte. Meines Erachtens ist das bequemer - aber die Hauptsache ist natürlich, daß Du irgendwie zum Ziel kommst.

>  


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Vektoren"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de