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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:32 Mo 26.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo, also habe hier folgende Aufgabe [mm] f:\IR\times(\IR\backslash{1})\to\IR:(x,y)\mapsto\bruch{e^{x}}{y-1}
[/mm]
Jetzt soll bei a) die Gradienten bestimmt werden grad f(x,y) was versteht man den darunter? Ist das nicht die erste und zweite Ableitung nach dem x?
Bei b) ist die Hessematrix zu bestimmen, dazu habe ich die erste und zweite Ableitung jeweils nach x und y gemacht und habe dann als Matrix raus:
mein Problem ist jetzt bei c) das Taylorpolynom der Stufe 2 von f um den Entwicklungspunkt (0,0) zu bestimmen, wie gehe ich hier vor?
lg Surfer
[mm] \pmat{\bruch{e^{x}}{y-1} & -\bruch{e^{x}}{(y-1)^{2}}\\ -\bruch{e^{x}}{(y-1)^{2}} & \bruch{2e^{x}}{(y-1)^{3}}}
[/mm]
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> Hallo, also habe hier folgende Aufgabe
> [mm]f:\IR\times(\IR\backslash{1})\to\IR:(x,y)\mapsto\bruch{e^{x}}{y-1}[/mm]
>
> Jetzt soll bei a) die Gradienten bestimmt werden grad
> f(x,y) was versteht man den darunter? Ist das nicht die
> erste und zweite Ableitung nach dem x?
Der Gradient ist der Vektor der ersten Ableitungen nach jeder Variable:
[mm]grad\ f(x,y) = \vektor{\bruch{\partial}{\partial x}f(x,y) \\ \bruch{\partial}{\partial y}f(x,y)}[/mm]
Er gibt praktisch an jeder Stelle den berührenden Vektor an der Funktion f an.
> Bei b) ist die Hessematrix zu bestimmen, dazu habe ich die
> erste und zweite Ableitung jeweils nach x und y gemacht und
> habe dann als Matrix raus:
[mm]\pmat{\bruch{e^{x}}{y-1} & -\bruch{e^{x}}{(y-1)^{2}}\\ -\bruch{e^{x}}{(y-1)^{2}} & \bruch{2e^{x}}{(y-1)^{3}}}[/mm]
Die dürfte richtig sein.
> mein Problem ist jetzt bei c) das Taylorpolynom der Stufe 2
> von f um den Entwicklungspunkt (0,0) zu bestimmen, wie gehe
> ich hier vor?
Du brauchst du zunächst die erste und zweite Ableitung, die hast du ja praktisch beim Aufstellen der Hesse-Matrix schon gebildet.
Wie genau du die berechnen kannst, ist bei Wikipedia beschrieben:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Taylor-Reihe#Taylorreihe_in_mehreren_Variablen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:15 Mo 26.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Ok also den Aufbau der Taylorreihe weiss ich, nur komme ich irgendwie nicht aufs richtige Ergebnis, ich beschreibe einmal mein bisheriges Vorgehen:
f(x) = [mm] \bruch{e^{x}}{y-1} \Rightarrow [/mm] f(0) = [mm] \bruch{1}{y-1}
[/mm]
f´(x) = [mm] \bruch{e^{x}}{y-1} \Rightarrow [/mm] f´(0) = [mm] \bruch{1}{y-1}
[/mm]
f´´(x) = [mm] -\bruch{e^{x}}{(y-1)^{2}} \Rightarrow [/mm] f´´(0) = [mm] -\bruch{1}{(y-1)^{2}}
[/mm]
f(y) = [mm] \bruch{e^{x}}{y-1} \Rightarrow [/mm] f(0) = [mm] -e^{x}
[/mm]
f´(y) = [mm] -\bruch{e^{x}}{(y-1)^{2}} \Rightarrow [/mm] f´(0) = [mm] -e^{x}
[/mm]
f´´(y) = [mm] \bruch{2e^{x}}{(y-1)^{3}} \Rightarrow [/mm] f´´(0) = [mm] -2e^{x}
[/mm]
Wenn ich dies jetzt in die Taylorreihe einsetzte würde ich so vorgehen:
= [mm] \bruch{1}{y-1}+\bruch{1}{y-1}*(x-0) [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}(-\bruch{1}{(y-1)^2})*(x-0)^{2} [/mm] + [mm] (-e^{x})+(-e^{x})*(y-0)+\bruch{-2e^{x}}{2}*(y-0)^{2} [/mm]
Habe ich hier vllt. schon einen Fehler irgendwo? Ich muss auf das Ergebnis:
[mm] T_{2}=-1-x-y-\bruch{1}{2}x^{2}-yx-y^{2} [/mm] kommen?
Wo liegt mein Fehler? Bitte um Korrektur!
lg Surfer
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> Ok also den Aufbau der Taylorreihe weiss ich, nur komme ich
> irgendwie nicht aufs richtige Ergebnis, ich beschreibe
> einmal mein bisheriges Vorgehen:
>
> f(x) = [mm]\bruch{e^{x}}{y-1} \Rightarrow[/mm] f(0) = [mm]\bruch{1}{y-1}[/mm]
> f´(x) = [mm]\bruch{e^{x}}{y-1} \Rightarrow[/mm] f´(0) = [mm]\bruch{1}{y-1}[/mm]
> f´´(x) = [mm]-\bruch{e^{x}}{(y-1)^{2}} \Rightarrow[/mm] f´´(0) = [mm]-\bruch{1}{(y-1)^{2}}[/mm]
Deine Funktion ist zwei-variablig, d.h. du kannst einen Funktionswert "z" nur durch Angabe von einer Stelle x und einer Stelle y erhalten. Diesbezüglich weiß ich also nicht, was du mit f(0) ausrechnest, vermute aber mal f(0,y). (Denn du setzt für x = 0 ein, dein y bleibt aber y).
Du sollst die Taylor-Reihe aber um den Punkt (0,0) bilden, d.h. du musst in die Funktion stets (0,0) einsetzen und nicht f(0,y) oder f(x,0) wie auch dann bei deinen y-Ableitungen unten. Eine Taylor-Reihe besteht eben gerade nur aus Polynomen, und hat von der Struktur des Terms her ABSOLUT nichts mehr mit deiner Funktion zu tun. Dies kann natürlich nur erreicht werden, indem die Taylor-Reihe keine Funktionsterme deiner Funktion aufgreift. Sie funktioniert so, dass du immer nur Zahlen-Werte in die Funktion EINSETZT.
Wie bei Wikipedia steht, ergibt sich bei der Taylor-Approximation von einer zwei-variabligen Funktion um den Punkt (a,b) die Abschätzung:
[mm]f(x,y) \approx f(a,b) + f_{x}(a,b)*(x-a) + f_{y}(a,b)*(y-b) + \bruch{1}{2}*\left(f_{xx}(a,b)*(x-a)^{2} + 2*f_{xy}(a,b)*(x-a)*(y-b) + f_{yy}(a,b)*(y-b)^{2}\right)[/mm]
Bei dir ist (a,b) = (0,0), denn du sollst um den Punkt (0,0) die Funktion mit Hilfe der Taylor-Reihe abschätzen. Deine Ableitungen kennst du, [mm] f_{x} [/mm] bezeichnet oben f nach x abgeleitet, [mm] f_{xx} [/mm] zweimal nach x abgeleitet usw.
Du musst nur einsetzen!
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