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höldersche Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:22 So 06.04.2014
Autor: knowhow

Aufgabe
Seien p,q>1 mit [mm] \bruch{1}{p}+\bruch{1}{q}=1. [/mm] Zeigen Sie die Höldersche Ungleichung für Integrale: Für stetige Funktionen [mm] f,g:[a,b]\to\IR [/mm] gilt
[mm] |\integral_{a}^{b}{f(x)g(x) dx}|\le (\integral_{a}^{b}{|f(x)|^{p}})^{\bruch{1}{p}}(\integral_{a}^{b}{g(x)}^{q})^{\bruch{1}{q}} [/mm]

Hinweis: Riemann-Summe

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Ich habes folgendes gemacht:
Riemann- summe ist folgend def.: [mm] \integral_{a}^{b}{f(x)dx}=lim \summe_{j=1}^{N-1}f(x_{j})\Delta x_{j} [/mm]

dann zu der aufgabe:
[mm] |\integral_{a}^{b}{f(x)g(x) dx}|\le \integral_{a}^{b}{|f(x)g(x)| dx}=lim \summe_{j=1}^{N-1}(f(x_{j})g(x_{j}))\Delta x_{j}=lim \summe_{j=1}^{N-1}|f(x_{j}|)(\Delta x_{j})^{\bruch{1}{p}}|g(x_j)|(\Delta x_{j})^{\bruch{1}{q}}\le [/mm] (lim [mm] \summe_{j=1}^{N-1}|f(x_{j})|^{p}\Delta x_{j})^{\bruch{1}{p}}(lim \summe_{j=1}^{N-1}|g(x_{j})|^{q})\Delta x_{j})^{\bruch{1}{q}}=(\integral_{a}^{b}{|f(x)|^{p}})^{\bruch{1}{p}}(\integral_{a}^{b}{|g(x)|^{q}})^{\bruch{1}{q}} [/mm]

ist das richtig was ich gemacht habe

gruß,
knowhow




        
Bezug
höldersche Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:42 Di 08.04.2014
Autor: wauwau

im prinzip schon, nur warum gilt die, von dir verwendete (diskrete) Ungleichung?

Bezug
                
Bezug
höldersche Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:10 So 13.04.2014
Autor: knowhow

weil f,g steitg ist gilt diese ungleichung, oder?

Bezug
                        
Bezug
höldersche Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:55 So 13.04.2014
Autor: felixf

Moin!

>  weil f,g steitg ist gilt diese ungleichung, oder?

Nein.

Du musst zuerst die (diskrete, weil endliche Summe) Ungleichung [mm] $\summe_{j=1}^{N-1} a_j b_j \le (\summe_{j=1}^{N-1}a_j^p )^{\bruch{1}{p}} (\summe_{j=1}^{N-1} b_j^p )^{\bruch{1}{q}}$ [/mm] mit [mm] $a_j [/mm] := [mm] |f(x_{j})|(\Delta x_{j})^{\bruch{1}{p}} \ge [/mm] 0$ und [mm] $b_j [/mm] := [mm] |g(x_j)|(\Delta x_{j})^{\bruch{1}{q}} \ge [/mm] 0$ zeigen. Dann kannst du wegen der Stetigkeit den Limes anwenden und erhaelst damit die gesuchte Ungleichung.

(Der Limes geht uebrigens nicht nur ueber $N$, sondern auch ueber die [mm] $(x_1, \dots, x_N)$, [/mm] die ja von $N$ abhaengen. Es ist also nicht einfach "nur" Stetigkeit, sondern mehr, was aber im Endeffekt auch aus der Stetigkeit folgt. Das solltest du dir aber auch mal klarmachen.)

LG Felix


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