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hallo
wie zeige ich, dass [mm] S^1\backslash \{(-1,0)\} [/mm] wegzuzsammenhängend ist? das weiss man ja für [mm] \mathbb{R}^n-\{0\},n>1. [/mm] Kann ich einen Homöomorphismus von [mm] S^1\backslash \{(-1,0)\}\to S^1\backslash \{(0,1)\} [/mm] angeben, gibt es da einen?
dann würde ich das mit der sterographischen Projektion begründen-
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:18 Mo 08.07.2013 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> wie zeige ich, dass [mm]S^1\backslash \{(-1,0)\}[/mm]
> wegzuzsammenhängend ist?
Ich würde es direkt zeigen: Nimm dir zwei beliebige Punkte aus [mm]S^1\backslash \{(-1,0)\}[/mm] und gib einen Weg in [mm]S^1\backslash \{(-1,0)\}[/mm] an, der sie verbindet. Anschaulich ist das doch direkt möglich.
> das weiss man ja für
> [mm]\mathbb{R}^n-\{0\},n>1.[/mm] Kann ich einen Homöomorphismus von
> [mm]S^1\backslash \{(-1,0)\}\to S^1\backslash \{(0,1)\}[/mm]
> angeben, gibt es da einen?
Wie wäre es mit einer Drehung um [mm] $\pi/4$ [/mm] um $(0,0)$ ?
> dann würde ich das mit der sterographischen Projektion
> begründen-
Ich sehe im Moment nicht, was dir vorschwebt.
Viele Grüße
Rainer
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hallo, danke dir vielmals für deine Antwort.
ich wusste nicht so ganz und weiss nicht, wie ich das vermeiden kann, dass der Weg nicht durch den Punkt [mm] \{(-1,0)\} [/mm] läuft.
für [mm] S^1\backslash \{(0,1)\} \to \mathbb{R} [/mm] habe ich jetzt die stereographische Projektion genommen, denn ich weiss, dass [mm] \mathbb{R} [/mm] wegzusammenhängend ist, deswegen dann auch [mm] S^1\backslash \{(0,1)\}. [/mm] Jetzt muss ich nurnoch den Homöomorphismus
f: [mm] S^1\backslash \{(-1,0)\} \to S^1\backslash \{(0,1)\} [/mm] angeben und habe wegzusammenhängend auch für [mm] S^1\backslash \{(0,1)\}. [/mm] Das Problem ist, ich kriege es nicht hin diesen anzugeben.
Danke, an einer Drehung habe ich nicht gedacht, meinst du um 180 Grad, also um [mm] \pi [/mm] oder um [mm] \frac{\pi}{4}? [/mm] Wie sähe der denn da aus?Oder kann ich da f(x,y)=(-y-x) nehmen?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:10 Mo 08.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> hallo, danke dir vielmals für deine Antwort.
> ich wusste nicht so ganz und weiss nicht, wie ich das
> vermeiden kann, dass der Weg nicht durch den Punkt
> [mm]\{(-1,0)\}[/mm] läuft.
> für [mm]S^1\backslash \{(0,1)\} \to \mathbb{R}[/mm] habe ich jetzt
> die stereographische Projektion genommen, denn ich weiss,
> dass [mm]\mathbb{R}[/mm] wegzusammenhängend ist, deswegen dann auch
> [mm]S^1\backslash \{(0,1)\}.[/mm] Jetzt muss ich nurnoch den
> Homöomorphismus
> f: [mm]S^1\backslash \{(-1,0)\} \to S^1\backslash \{(0,1)\}[/mm]
> angeben und habe wegzusammenhängend auch für
> [mm]S^1\backslash \{(0,1)\}.[/mm] Das Problem ist, ich kriege es
> nicht hin diesen anzugeben.
Nimm Dir 2 Punkte [mm] x_0,x_1 \in [/mm] $ [mm] S^1\backslash \{(-1,0)\} [/mm] $ her mit [mm] x_0 \ne x_1.
[/mm]
Dann gibt es [mm] t_0,t_1 \in [/mm] ( - [mm] \pi, \pi] [/mm] mit
[mm] x_0=(cos(t_0),sin(t_0)) [/mm] und [mm] x_1=(cos(t_1),sin(t_1)) [/mm] .
Wir können [mm] t_0
Was leistet der Weg
[mm] \gamma(t)=(cos(t),sin(t)) [/mm] , t [mm] \in [t_0,t_1] [/mm] ?
> Danke, an einer Drehung habe ich nicht gedacht, meinst du
> um 180 Grad, also um [mm]\pi[/mm] oder um [mm]\frac{\pi}{4}?[/mm]
[mm]\frac{\pi}{4}[/mm]
> Wie sähe
> der denn da aus?Oder kann ich da f(x,y)=(-y-x) nehmen?
Wie wärs mit f(x,y)=(-y, x) ?
FRED
> Liebe Grüße
>
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Hallo,
vielen dank für die Antwort!
Der Weg [mm] \gamma [/mm] verbindet [mm] x_0 [/mm] mit [mm] x_1.
[/mm]
Wieso dürfen [mm] t_0, t_1 \in (-\pi [/mm] , [mm] \pi] [/mm] sein, also für [mm] t_1 =\pi [/mm] hat man den Punkt [mm] x_1=(-1,0), [/mm] aber dieser wird ja rausgenommen?
Und wieso f(x,y)=(-y,x) statt f(x,y)=(-y,-x) oder ist es egal?
Wie kommt man darauf, dass man f(x,y)=(-y,x) nehmen kann?
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:20 Fr 12.07.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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