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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - homogene gleichung
homogene gleichung < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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homogene gleichung: homogene Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:48 Sa 17.04.2010
Autor: safsaf

Aufgabe
  [mm] Y'(t)=\pmat{ 3 & 1 \\ -2 & 0 } [/mm] Y(t)+ [mm] \vektor{3t-2 \\ -2t} [/mm]
zunächst habe ich die eigenwerte bestimmt indem ich a)= 1 und b)=2 gefunden habe.die dazugehörigen Eigenvktoren sind für a) [mm] \vektor{\bruch{-1}{2} \\ 1} [/mm] und für b) [mm] \vektor{-1 \\ 1}, [/mm] falls ich es richtig gerechnet habe. nun lautet die frage : geben Sie die Lösung der homogenen Gleichung ab.

die Frage verstehe ich nicht ?? wie soll ich denn die erste gleichung umschreiben in der ich die neuen werte setze ?? vielen dank im voraus.

        
Bezug
homogene gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:30 So 18.04.2010
Autor: ullim

Hi,

>  [mm]Y'(t)=\pmat{ 3 & 1 \\ -2 & 0 }[/mm] Y(t)+ [mm]\vektor{3t-2 \\ -2t}[/mm]
>  
> zunächst habe ich die eigenwerte bestimmt indem ich a)= 1
> und b)=2 gefunden habe.die dazugehörigen Eigenvktoren sind
> für a) [mm]\vektor{\bruch{-1}{2} \\ 1}[/mm] und für b) [mm]\vektor{-1 \\ 1},[/mm]
> falls ich es richtig gerechnet habe.

[ok]

> nun lautet die frage :
> geben Sie die Lösung der homogenen Gleichung ab.
>  die Frage verstehe ich nicht ?? wie soll ich denn die
> erste gleichung umschreiben in der ich die neuen werte
> setze ?? vielen dank im voraus.

Deine DGL hat die Form

Y'(t)=A*Y(t)+b(t)   mit [mm] A=\pmat{ 3 & 1 \\ -2 & 0 } [/mm] uund [mm] b(t)=\vektor{3t-2 \\ -2t} [/mm] und ist eine sogenannte inhomogene DGL, da [mm] b(t)\ne0 [/mm] gilt.

Die homogene DGL ergibt sich, wenn Du b(t)=0 setzt.

Die vollständige Lösung der DGL ergibt sich als Summe aus der allgemeinen Lösung der homogenen DGL + einer spezielle Lösung der inhomogenen DGL.

Also sind zur Lösung der DGL zwei Aufgaben zu lösen:

a) Finden der allgemeinen homogenen Lösung
b) Finden einer speziellen inhomogenen Lösung

Die allgemeine Lösung der homogenen DGL findest Du als Linearkombination der zwei gefundenen Lösungen der homogenen DGL [mm] \lambda_1*v_1 [/mm] und [mm] \lambda_2*v_2 [/mm]

wobei [mm] \lambda_i [/mm] die Eigenvewerte und [mm] v_i [/mm] die Eigenvektoren sind mit i=1,2



Bezug
                
Bezug
homogene gleichung: hallo
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:12 So 18.04.2010
Autor: safsaf

vielen vieln Dank!!

Bezug
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