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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - homogene lin. DGL 2. Ordnung
homogene lin. DGL 2. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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homogene lin. DGL 2. Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:45 Sa 18.10.2008
Autor: hase-hh

Aufgabe
Bestimmen Sie alle reellen Lösungen folgender Differentialgleichungen

a) y '' + y ' - 2y = 0   Anfangswerte  y(0)= 1 ; y ' (0)= 0

b) y '' + 2 y ' + y = 0  Anfangswerte y(0)= 2 ; y ' (0)= 5

c) y '' + 4 y ' - 21y = 0  Anfangswerte y(0)= 0 ; y ' (0) = 10

Moin,

also zunächst habe ich versucht, die speziellen Lösungen zu finden.

Stimmt es, dass es unterschiedliche Formeln gibt, abhängig davon, ob ich eine oder zwei Lösungen für [mm] \lambda [/mm] habe?  (s.u.)


Aufgabe a)

Charakteristische Gleichung

[mm] \lambda^2 [/mm] + [mm] a_1*\lambda [/mm] + [mm] a_2 [/mm] =0

[mm] \lambda_{1/2} [/mm] = - [mm] \bruch{a_1}{2} \pm \wurzel{\bruch{a_1^2}{4} -a_2} [/mm]

y(x) = [mm] C_1*e^{\lambda_1*x} [/mm] + [mm] C_2*e^{\lambda_2*x} [/mm]

y(x)  nur im Falle zweier reeller Lösungen?

=>

[mm] \lambda_{1/2} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{2} \pm \wurzel{\bruch{1}{4} +2} [/mm]

[mm] \lambda_1 [/mm] = - 2
[mm] \lambda_2 [/mm] = 1

y(x) = [mm] C_1*e^{-2x} [/mm] + [mm] C_2*e^{x} [/mm]

= Allgemeine Lösung ?

Wie komme ich jetzt zur Speziellen Lösung?

Idee:

y ' (x) = [mm] \lambda*C*e^{\lambda*x} [/mm]

y '' (x) = [mm] \lambda^2*C*e^{\lambda*x} [/mm]

Anfangswerte in y(x) einsetzen  und y ' einsetzen

1 = [mm] C_1 [/mm] + [mm] C_2 [/mm]

0 = [mm] \lambda*C [/mm]

???


Aufgabe b)

Charakteristische Gleichung

[mm] \lambda^2 [/mm] + [mm] a_1*\lambda [/mm] + [mm] a_2 [/mm] =0

[mm] \lambda_{1/2} [/mm] = - [mm] \bruch{a_1}{2} \pm \wurzel{\bruch{a_1^2}{4} -a_2} [/mm]

=>

[mm] \lambda_{1/2} [/mm] = - 1 [mm] \pm \wurzel{1-1} [/mm]

[mm] \lambda_{1/2} [/mm] = - 1


y(x) = [mm] (C_1+C_2x)*e^{\lamdax} [/mm]

y(x)  nur im Falle einer doppelten reellen Lösungen?

y(x) = [mm] (C_1+C_2x)*e^{\lambda*x} [/mm]

= Allgemeine Lösung ?

Wie komme ich jetzt zur Speziellen Lösung?

Idee:

y ' (x) = [mm] \lambda*C*e^{\lambda*x} [/mm]

y '' (x) = [mm] \lambda^2*C*e^{\lambda*x} [/mm]

Anfangswerte in y(x) einsetzen  und in y '

y(x) = [mm] (C_1+C_2x)*e^{-x} [/mm]

5 = [mm] \lambda*C [/mm]

???


Danke & Gruß

(wird fortgesetzt)


        
Bezug
homogene lin. DGL 2. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:17 Sa 18.10.2008
Autor: MathePower

Hallo hase-hh,

> Bestimmen Sie alle reellen Lösungen folgender
> Differentialgleichungen
>  
> a) y '' + y ' - 2y = 0   Anfangswerte  y(0)= 1 ; y ' (0)=
> 0
>  
> b) y '' + 2 y ' + y = 0  Anfangswerte y(0)= 2 ; y ' (0)= 5
>  
> c) y '' + 4 y ' - 21y = 0  Anfangswerte y(0)= 0 ; y ' (0) =
> 10
>  Moin,
>  
> also zunächst habe ich versucht, die speziellen Lösungen zu
> finden.
>
> Stimmt es, dass es unterschiedliche Formeln gibt, abhängig
> davon, ob ich eine oder zwei Lösungen für [mm]\lambda[/mm] habe?  
> (s.u.)


Ja.


>
>
> Aufgabe a)
>  
> Charakteristische Gleichung
>  
> [mm]\lambda^2[/mm] + [mm]a_1*\lambda[/mm] + [mm]a_2[/mm] =0
>  
> [mm]\lambda_{1/2}[/mm] = - [mm]\bruch{a_1}{2} \pm \wurzel{\bruch{a_1^2}{4} -a_2}[/mm]
>  
> y(x) = [mm]C_1*e^{\lambda_1*x}[/mm] + [mm]C_2*e^{\lambda_2*x}[/mm]
>  
> y(x)  nur im Falle zweier reeller Lösungen?
>  
> =>
>  
> [mm]\lambda_{1/2}[/mm] = - [mm]\bruch{1}{2} \pm \wurzel{\bruch{1}{4} +2}[/mm]
>  
> [mm]\lambda_1[/mm] = - 2
>   [mm]\lambda_2[/mm] = 1
>
> y(x) = [mm]C_1*e^{-2x}[/mm] + [mm]C_2*e^{x}[/mm]
>  
> = Allgemeine Lösung ?
>  
> Wie komme ich jetzt zur Speziellen Lösung?
>
> Idee:
>  
> y ' (x) = [mm]\lambda*C*e^{\lambda*x}[/mm]
>
> y '' (x) = [mm]\lambda^2*C*e^{\lambda*x}[/mm]
>  
> Anfangswerte in y(x) einsetzen  und y ' einsetzen
>  
> 1 = [mm]C_1[/mm] + [mm]C_2[/mm]
>  
> 0 = [mm]\lambda*C[/mm]
>
> ???
>  


Leite die allgemeine Lösung ab und setze die Anfangswerte sowohl in
[mm]y\left(x\right)[/mm] als auch [mm]y'\left(x\right)[/mm] ein.

Dann entsteht ein lineares Gleichungssystem für die Konstanten [mm]C_{1}, \ C_{2}[/mm].


>
> Aufgabe b)
>
> Charakteristische Gleichung
>  
> [mm]\lambda^2[/mm] + [mm]a_1*\lambda[/mm] + [mm]a_2[/mm] =0
>  
> [mm]\lambda_{1/2}[/mm] = - [mm]\bruch{a_1}{2} \pm \wurzel{\bruch{a_1^2}{4} -a_2}[/mm]
>  
> =>
>
> [mm]\lambda_{1/2}[/mm] = - 1 [mm]\pm \wurzel{1-1}[/mm]
>  
> [mm]\lambda_{1/2}[/mm] = - 1
>  
>
> y(x) = [mm](C_1+C_2x)*e^{\lamdax}[/mm]
>


[mm]y(x) = (C_1+C_2x)*e^{\lambda x}[/mm]


> y(x)  nur im Falle einer doppelten reellen Lösungen?
>  
> y(x) = [mm](C_1+C_2x)*e^{\lambda*x}[/mm]
>
> = Allgemeine Lösung ?
>  
> Wie komme ich jetzt zur Speziellen Lösung?


siehe a)


>
> Idee:
>  
> y ' (x) = [mm]\lambda*C*e^{\lambda*x}[/mm]
>
> y '' (x) = [mm]\lambda^2*C*e^{\lambda*x}[/mm]
>  
> Anfangswerte in y(x) einsetzen  und in y '
>  
> y(x) = [mm](C_1+C_2x)*e^{-x}[/mm]
>  
> 5 = [mm]\lambda*C[/mm]
>  
> ???
>  
>
> Danke & Gruß
>  
> (wird fortgesetzt)
>  

Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
homogene lin. DGL 2. Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:49 Sa 18.10.2008
Autor: hase-hh

Moin,

ok. Dann hier meine Lösungen...

> a) y '' + y ' - 2y = 0   Anfangswerte  y(0)= 1 ; y ' (0)= 0

  

> b) y '' + 2 y ' + y = 0  Anfangswerte y(0)= 2 ; y ' (0)= 5

  

> c) y '' + 4 y ' - 21y = 0  Anfangswerte y(0)= 0 ; y ' (0)= 10


Aufgabe a)

1. Allgemeine Lösung ermitteln mithilfe der Charakteristischen Gleichung
  
Charakteristische Gleichung
  
[mm]\lambda^2[/mm] + [mm]a_1*\lambda[/mm] + [mm]a_2[/mm] =0
  
[mm]\lambda_{1/2}[/mm] = - [mm]\bruch{a_1}{2} \pm \wurzel{\bruch{a_1^2}{4} -a_2}[/mm]
  
[mm]\lambda_{1/2}[/mm] = - [mm]\bruch{1}{2} \pm \wurzel{\bruch{1}{4} +2}[/mm]
  
[mm]\lambda_1[/mm] = -2
[mm]\lambda_2[/mm] = 1

Achtung: Im Falle zweier reellen Lösungen gilt  

y(x) = [mm]C_1*e^{\lambda_1*x}[/mm] + [mm]C_2*e^{\lambda_2*x}[/mm]


=> Allgemeine Lösung

y(x) = [mm]C_1*e^{-2x}[/mm] + [mm]C_2*e^{x}[/mm]


2. Spezielle Lösung ermitteln mithilfe der 1. Ableitung und den Anfangswerten und linearem Gleichungssystem

Bilde y '

y ' (x) =  [mm] -2*C_1*e^{-2x} [/mm] + [mm] C_2*e^x [/mm]

Gleichungssystem aufstellen -> Einsetzen der Anfangswerte in y und y '

1 = [mm] C_1 [/mm] + [mm] C_2 [/mm]

0 = [mm] -2C_1 [/mm] + [mm] C_2 [/mm]

bzw. [mm] C_2 [/mm] = 2 [mm] C_1 [/mm]  ;  [mm] C_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm]  ; [mm] C_2 [/mm] = [mm] \bruch{2}{3} [/mm]

=> Spezielle Lösung

y = [mm] \bruch{1}{3}*e^{-2x} [/mm] + [mm] \bruch{2}{3}e^x [/mm]

  
Aufgabe b)

1. Allgemeine Lösung ermitteln mithilfe der Charakteristischen Gleichung

Charakteristische Gleichung

[mm]\lambda^2[/mm] + [mm]a_1*\lambda[/mm] + [mm]a_2[/mm] =0
  
[mm]\lambda_{1/2}[/mm] = - [mm]\bruch{a_1}{2} \pm \wurzel{\bruch{a_1^2}{4} -a_2}[/mm]
  
[mm]\lambda_{1/2}[/mm] = - 1 [mm]\pm \wurzel{1-1}[/mm]
  
[mm]\lambda_{1/2}[/mm] = - 1
  
Achtung: Im Falle einer reellen Lösung gilt

y(x) = [mm](C_1+C_2x)*e^{\lambda*x}[/mm]


=> Allgemeine Lösung

[mm]y(x) = (C_1+C_2x)*e^{-x}[/mm]

2. Spezielle Lösung ermitteln mithilfe der 1. Ableitung und den Anfangswerten und linearem Gleichungssystem

Bilde y '   (Produktregel ...)

y ' (x) =  [mm] C_2*e^{-x} [/mm] - [mm] (C_1+C_2*x)*e^{-x} [/mm]

Gleichungssystem aufstellen -> Einsetzen der Anfangswerte in y und y '

2 = [mm] C_1 [/mm]

5 = [mm] C_2 [/mm] - [mm] C_1 [/mm]

bzw. [mm] C_1 [/mm] = 2   ;  [mm] C_2 [/mm]  = 7

=> Spezielle Lösung

y(x) = [mm] (2+7x)*e^{-x} [/mm]


Aufgabe c)

1. Allgemeine Lösung ermitteln mithilfe der Charakteristischen Gleichung

Charakteristische Gleichung

[mm]\lambda^2[/mm] + [mm]a_1*\lambda[/mm] + [mm]a_2[/mm] =0
  
[mm]\lambda_{1/2}[/mm] = - [mm]\bruch{a_1}{2} \pm \wurzel{\bruch{a_1^2}{4} -a_2}[/mm]
  
[mm]\lambda_{1/2}[/mm] = - [mm] 2 \pm \wurzel{4 +21}[/mm]
  
[mm]\lambda_1[/mm] = -7
[mm]\lambda_2[/mm] = 3

Achtung: Im Falle zweier reellen Lösungen gilt  

y(x) = [mm]C_1*e^{\lambda_1*x}[/mm] + [mm]C_2*e^{\lambda_2*x}[/mm]


=> Allgemeine Lösung

y(x) = [mm]C_1*e^{-7x}[/mm] + [mm]C_2*e^{3x}[/mm]


2. Spezielle Lösung ermitteln mithilfe der 1. Ableitung und den Anfangswerten und linearem Gleichungssystem

Bilde y '

y ' (x) =  [mm] -7*C_1*e^{-7x} [/mm] + [mm] 3*C_2*e^{3x} [/mm]

Gleichungssystem aufstellen -> Einsetzen der Anfangswerte in y und y '

0 = [mm] C_1 [/mm] + [mm] C_2 [/mm]

10 = [mm] -7C_1 [/mm] +3 [mm] C_2 [/mm]

bzw. [mm] C_2 [/mm] = - [mm] C_1 [/mm]  ;  [mm] C_1 [/mm] = -1  ; [mm] C_2 [/mm] = 2

=> Spezielle Lösung

y (x) = - [mm] e^{-7x} [/mm] + [mm] e^{3x} [/mm]


Hoffe, das stimmt?!  

Danke & Gruß

Bezug
                        
Bezug
homogene lin. DGL 2. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:06 Sa 18.10.2008
Autor: MathePower

Hallo hase-hh,

> Moin,
>
> ok. Dann hier meine Lösungen...
>  
> > a) y '' + y ' - 2y = 0   Anfangswerte  y(0)= 1 ; y ' (0)=
> 0
>    
> > b) y '' + 2 y ' + y = 0  Anfangswerte y(0)= 2 ; y ' (0)= 5
>    
> > c) y '' + 4 y ' - 21y = 0  Anfangswerte y(0)= 0 ; y ' (0)=
> 10
>  
>
> Aufgabe a)
>  
> 1. Allgemeine Lösung ermitteln mithilfe der
> Charakteristischen Gleichung
>    
> Charakteristische Gleichung
>    
> [mm]\lambda^2[/mm] + [mm]a_1*\lambda[/mm] + [mm]a_2[/mm] =0
>    
> [mm]\lambda_{1/2}[/mm] = - [mm]\bruch{a_1}{2} \pm \wurzel{\bruch{a_1^2}{4} -a_2}[/mm]
>  
>  
> [mm]\lambda_{1/2}[/mm] = - [mm]\bruch{1}{2} \pm \wurzel{\bruch{1}{4} +2}[/mm]
>  
>  
> [mm]\lambda_1[/mm] = -2
>  [mm]\lambda_2[/mm] = 1
>
> Achtung: Im Falle zweier reellen Lösungen gilt  
>
> y(x) = [mm]C_1*e^{\lambda_1*x}[/mm] + [mm]C_2*e^{\lambda_2*x}[/mm]
>  
> => Allgemeine Lösung
>  
> y(x) = [mm]C_1*e^{-2x}[/mm] + [mm]C_2*e^{x}[/mm]
>  
>
> 2. Spezielle Lösung ermitteln mithilfe der 1. Ableitung und
> den Anfangswerten und linearem Gleichungssystem
>  
> Bilde y '
>
> y ' (x) =  [mm]-2*C_1*e^{-2x}[/mm] + [mm]C_2*e^x[/mm]
>  
> Gleichungssystem aufstellen -> Einsetzen der Anfangswerte
> in y und y '
>  
> 1 = [mm]C_1[/mm] + [mm]C_2[/mm]
>
> 0 = [mm]-2C_1[/mm] + [mm]C_2[/mm]
>
> bzw. [mm]C_2[/mm] = 2 [mm]C_1[/mm]  ;  [mm]C_1[/mm] = [mm]\bruch{1}{3}[/mm]  ; [mm]C_2[/mm] =
> [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
>  
> => Spezielle Lösung
>  
> y = [mm]\bruch{1}{3}*e^{-2x}[/mm] + [mm]\bruch{2}{3}e^x[/mm]
>


Stimmt. [ok]


>
> Aufgabe b)
>
> 1. Allgemeine Lösung ermitteln mithilfe der
> Charakteristischen Gleichung
>
> Charakteristische Gleichung
>  
> [mm]\lambda^2[/mm] + [mm]a_1*\lambda[/mm] + [mm]a_2[/mm] =0
>    
> [mm]\lambda_{1/2}[/mm] = - [mm]\bruch{a_1}{2} \pm \wurzel{\bruch{a_1^2}{4} -a_2}[/mm]
>  
>  
> [mm]\lambda_{1/2}[/mm] = - 1 [mm]\pm \wurzel{1-1}[/mm]
>    
> [mm]\lambda_{1/2}[/mm] = - 1
>    
> Achtung: Im Falle einer reellen Lösung gilt
>
> y(x) = [mm](C_1+C_2x)*e^{\lambda*x}[/mm]
>  
> => Allgemeine Lösung
>  
> [mm]y(x) = (C_1+C_2x)*e^{-x}[/mm]
>
> 2. Spezielle Lösung ermitteln mithilfe der 1. Ableitung und
> den Anfangswerten und linearem Gleichungssystem
>  
> Bilde y '   (Produktregel ...)
>  
> y ' (x) =  [mm]C_2*e^{-x}[/mm] - [mm](C_1+C_2*x)*e^{-x}[/mm]
>  
> Gleichungssystem aufstellen -> Einsetzen der Anfangswerte
> in y und y '
>  
> 2 = [mm]C_1[/mm]
>  
> 5 = [mm]C_2[/mm] - [mm]C_1[/mm]
>
> bzw. [mm]C_1[/mm] = 2   ;  [mm]C_2[/mm]  = 7
>
> => Spezielle Lösung
>  
> y(x) = [mm](2+7x)*e^{-x}[/mm]
>  


Stimmt auch. [ok]


>
> Aufgabe c)
>  
> 1. Allgemeine Lösung ermitteln mithilfe der
> Charakteristischen Gleichung
>
> Charakteristische Gleichung
>  
> [mm]\lambda^2[/mm] + [mm]a_1*\lambda[/mm] + [mm]a_2[/mm] =0
>    
> [mm]\lambda_{1/2}[/mm] = - [mm]\bruch{a_1}{2} \pm \wurzel{\bruch{a_1^2}{4} -a_2}[/mm]
>  
>  
> [mm]\lambda_{1/2}[/mm] = - [mm]2 \pm \wurzel{4 +21}[/mm]
>    
> [mm]\lambda_1[/mm] = -7
>  [mm]\lambda_2[/mm] = 3
>  
> Achtung: Im Falle zweier reellen Lösungen gilt  
>
> y(x) = [mm]C_1*e^{\lambda_1*x}[/mm] + [mm]C_2*e^{\lambda_2*x}[/mm]
>  
> => Allgemeine Lösung
>  
> y(x) = [mm]C_1*e^{-7x}[/mm] + [mm]C_2*e^{3x}[/mm]
>  
>
> 2. Spezielle Lösung ermitteln mithilfe der 1. Ableitung und
> den Anfangswerten und linearem Gleichungssystem
>  
> Bilde y '
>
> y ' (x) =  [mm]-7*C_1*e^{-7x}[/mm] + [mm]3*C_2*e^{3x}[/mm]
>  
> Gleichungssystem aufstellen -> Einsetzen der Anfangswerte
> in y und y '
>  
> 0 = [mm]C_1[/mm] + [mm]C_2[/mm]
>
> 10 = [mm]-7C_1[/mm] +3 [mm]C_2[/mm]
>
> bzw. [mm]C_2[/mm] = - [mm]C_1[/mm]  ;  [mm]C_1[/mm] = -1  ; [mm]C_2[/mm] = 2
>  
> => Spezielle Lösung
>  
> y (x) = - [mm]e^{-7x}[/mm] + [mm]e^{3x}[/mm]


Stimmt nochmals.  [ok]


>
>
> Hoffe, das stimmt?!  


Alles richtig.


>
> Danke & Gruß


Gruß
MathePower

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