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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:44 Mi 25.03.2009 | | Autor: | Klemme |
| Aufgabe | Sei K ein Körper und seien a,b,c,d [mm] \in [/mm] K. Lösen Sie das folgende homogene LGS in Abhängigkeit von a,b,c,d!
[mm] aX_{1} [/mm] + [mm] bX_{2} [/mm] = 0
[mm] cX_{1} [/mm] + [mm] dX_{2} [/mm] = 0 |
Hallo,
ich übe gerade für die Prüfung. Habe aber leider zu meinen Aufgaben keine Lösungen. Es wäre nett, wenn mal jemand drüber schaut. Danke schon mal.
Hier meine Lösung:
Die Koeffizienetenmatrix:
a b 0
c d 0
Lsg. für a=0 und c= 0:
dann sind auch b und d=0 (gilt auch umgekehrt)
Lsg. für a=0 und c [mm] \not= [/mm] 0:
wenn a=0, dann b=0, wenn c [mm] \not= [/mm] 0, dann d=-c
c kann also beliebig gewählt werden
Lsg. für a [mm] \not= [/mm] 0 und c=0:
wenn a [mm] \not=0, [/mm] dann b=-a, wenn c= 0, dann d=0
a kann also beliebig gewählt werden
Lsg. für a [mm] \not= [/mm] 0 und c [mm] \not= [/mm] 0:
wenn a [mm] \not=0, [/mm] dann b=-a und wenn c [mm] \not= [/mm] 0, dann d=-c
a und c können beliebig gewählt werden
Würde das so reichen?
LG
Klemme
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:55 Mi 25.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du willst doch nicht a,b,c,d bestimmen, sondern [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2
[/mm]
Gesucht ist welche Bed. fuer die abcd gibt es, damit es eine eindeutige Losung gibt, unendlich viele loesungen , keine Loesung ausser der trivialen [mm] x_1=x_2=0
[/mm]
also ist etwa die Aussage a=0 und c= 0 dann auch b,d=0 sinnlos.
also Versuchs noch mal, so schwierig ist es nicht.
such einfach Loesungen fuer [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2, [/mm] wenn du durch was dividierst, mach dir klar, dass es nicht 0 sein darf.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Mi 25.03.2009 | | Autor: | Klemme |
Hm, ja da war wohl ein Riesendenkfehler drin. Na gut dann noch mal von vorn.
Wenn man die Gleichungen auflöst, erhält man:
[mm] X_{1} [/mm] = [mm] \bruch{-bX_{2}}{a} [/mm] = [mm] \bruch{-dX_{2}}{c}
[/mm]
[mm] X_{2} [/mm] = [mm] \bruch{-aX_{1}}{b} [/mm] = [mm] \bruch{-cX_{2}}{d}
[/mm]
a,b,c,d müssen also alle [mm] \not= [/mm] 0 sein. Unter Einhaltung dieser Bedingung kann man für X1 oder X2 beliebige Zahlen einsetzen.
(a ist gleich c oder die beiden sind Vielfache voneinander, das gilt auch für b und d)
z.B. [mm] X_{1}=-15 [/mm] und [mm] X_{2}= [/mm] -10 , dann ist a=2,b=3,c=4,d=6
Wenn also [mm] X_{1}=X_{2}=0 [/mm] gelten soll, also die triviale Lösung, dann müssen a=b=c=d=0 sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 Mi 25.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du kannst nicht so primitiv vorgehen.
unabhaengig von abcd ist x1=x2=0 Loesung jedes homogenen LGS.
2. aus a=0, [mm] b\ne [/mm] 0 folgt x2=0 und daraus cx1=0 also x1=0
entsprechend mit b=0 usw.
also aus einer der Koeff.=0 folgt immer nur die triviale Loesung.
3. Wann genau gibt es unendlich viele Loesungen fuer x1,x2
Wann genau eine Loesung? Das hast du nicht beantwortet!
Du sollst kein konkretes abcd ausrechnen, sondern eine bedingung zwischen ihnen angeben!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:38 Mi 25.03.2009 | | Autor: | Klemme |
Ich mach das mal jetzt nur einen Ansatz für a [mm] \not= [/mm] 0 und stelle eine Koeffizientenmatrix auf. Die Gleichungen
[mm] X_{1} [/mm] = [mm] \bruch{-b}{a} X_{2} [/mm] = [mm] \bruch{-d}{c}X_{2} [/mm] und
[mm] X_{2} [/mm] = [mm] \bruch{-a}{b} X_{1} [/mm] = [mm] \bruch{-c}{d}X_{1}
[/mm]
stimmen hoffentlich.
[mm] \pmat{ 1 & \bruch{b}{a} \\ 1 & \bruch{d}{c} } [/mm] Erste Zeile von 2. abziehen
[mm] \pmat{ 1 & \bruch{-b}{a} \\ 0 & da-bc }
[/mm]
Wenn jetzt da-bc [mm] \not= [/mm] 0 ist, ist [mm] \IL [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0}
[/mm]
Kann ich so anfangen?
LG
Klemme
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:28 Do 26.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja, richtig so.
Die loesungen , die du hinschreibst solltest du noch unbedingt jeweils die Nenner [mm] \ne0 [/mm] dazuschreiben.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:35 Do 26.03.2009 | | Autor: | Klemme |
Danke Leduart,
jetzt weiß ich wie ich das machen muss.
LG
Klemme
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