homogenes lineares DGL-System < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:11 Do 21.06.2012 | | Autor: | Gnocchi |
| Aufgabe | Betrachten Sie das Differentialgleichungssystem:
[mm] (\*\*,H) y_1' [/mm] = [mm] y_2 [/mm] und [mm] y_2'=0
[/mm]
a.) Schreiben Sie [mm] (\*\*,H) [/mm] in Matrixform
b.) Bestimmen Sie alle Lösungen von (**,H)
c.) Bestimmen Sie eine Basis der Lösungsmenge zu [mm] (\* \*,H) [/mm] |
Hab mir nun bisher überlegt:
a.)Da [mm] y_2'=0, [/mm] muss ja [mm] y_1'= c_1 [/mm] sein, wobei [mm] c_1 [/mm] eine Konstante ist. Zudem müsste dann [mm] y_o'=c_1*x_1+c_2 [/mm] sein. [mm] c_2 [/mm] ist wieder eine Konstante und [mm] x_1 [/mm] eine Variable.
Für die Matrixform würde dann folgen:
[mm] \pmat{y_o \\ y_1 \\ y_2 }^{'} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & x_1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0} [/mm] * [mm] \pmat{y_o \\ y_1 \\ y_2 } [/mm] + [mm] \pmat{c_2 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
Da das System homogen ist, muss [mm] c_2 [/mm] = 0 sein.
b.)Wir haben ja [mm] \pmat{y_o \\ y_1 \\ y_2 } [/mm] = [mm] \pmat{c_1*x_1 \\ c_1 \\ 0 }
[/mm]
[mm] x_1 [/mm] ist hierbei ja unsere Variable und die Lösungen für das homogene System setzen sich ja dann aus den verschiedenen Werten zusammen, die man für [mm] c_1 [/mm] einsetzen kann.
c.) Da bin ich noch am grübeln. Eine Basis ist ja ein Erzeugendessystem von linear unabhängigen Vektoren. Linear unabhängig sind die Vektoren ja, sieht man ja durch hinsehen. Nur die Nullzeite irritiert mich. Oder kann die so stehen bleiben?!
Gibt es sonst noch was bei a.) oder b.) was falsch oder verbesserungswürdig ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:39 Do 21.06.2012 | | Autor: | Blech |
Hi,
vielleicht ist mir nur eure Schreibweise nicht geläufig, aber ich sehe nicht, warum bei der Aufgabe überhaupt ein [mm] $y_0$ [/mm] auftauchen sollte
[mm] $\vektor{y_1'\\ y_2'} [/mm] = [mm] \pmat{0& 1\\ 0& 0} \vektor{y_1\\ y_2}$
[/mm]
ciao
Stefan
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