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| Aufgabe | | [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{2cosh t}{3+cosh²t} dt} [/mm] |
Das Ganze soll durch Substitution gelöst werden. Habe probiert:
z=cosh²t und z=cosh t
Aber wenn ich die Ableitung bilde, habe ich ja dann meistens einen Term stehen, der so ähnlich lautet: [mm] \bruch{dz}{sinh t}
[/mm]
Damit habe ich ja dann nichts gekonnt, habe zwar den cosh t raus, dafür einen sinh t drin
Im ersten Fall erhalte ich:
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{(3+z)*sinh t} dz}
[/mm]
Im zweiten Fall:
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{2z}{(3+z²)sinh t} dz}
[/mm]
hab dann auch einfach mal das z=cosh²t nach z umgestellt, sodass ich einen Term für sinh t habe. Da erhalte ich [mm] \wurzel{1-z}, [/mm] aber das bringt mich auch nicht weiter.
Zumal die Stammfunktion [mm] arctan(\bruch{sinh t}{2})+ [/mm] C lauten soll/kann.
Wäre nett, wenn sich das mal jemand anschaut, vielleicht habe ich ja auch etwas falsch gemacht.
mfg
sunshinenight
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:57 Di 11.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sunshinenight!
Wende zunächst an: [mm] $\cosh^2(t)-\sinh^2(t) [/mm] \ = \ 1$ [mm] $\gdw$ $\cosh^2(t) [/mm] \ = \ [mm] 1+\sinh^2(t)$
[/mm]
Damit wird Dein Integral zu:
[mm] $\integral{\bruch{2*\cosh(t)}{3+\cosh^2(t)} \ dt} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\bruch{2*\cosh(t)}{3+1+\sin^2(t)} \ dt} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\bruch{2*\cosh(t)}{4+\sin^2(t)} \ dt} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\integral{\bruch{\cosh(t)}{1+\left(\bruch{\sinh(t)}{2}\right)^2} \ dt}$
[/mm]
Und nun weiter mit der Substitution: $z \ := \ [mm] \bruch{\sinh(t)}{2}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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