idempotenter Endomorphismus < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:22 Di 06.07.2004 | | Autor: | maik2004 |
Hallo.
Ich habe folgende aufgabe zu lösen:
Sei [mm] \phi [/mm] ein idempotenter Endomorphismus eines endlich dimensionalen Vektorraums V (d.h. [mm] \phi [/mm] ist eine lineare Abbildung von V in
sich mit [mm] \phi^2 [/mm] = [mm] \phi).
[/mm]
Zeigen sie: V = [mm] \phi(V) \oplus Ker\phi
[/mm]
Ich habe absolut keinen Plan wie ich an diese Sache herangehen sollte.
Bin für jede Hilfe dankbar.
mfg Maik
p.s.: Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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Meinen Gruß!
Also, schauen wir mal... wir haben gegeben, dass [mm] \phi^2 = \phi [/mm]. Und dann soll gezeigt werden, dass sich der Vektorraum in diese direkte Summe zerlegt.
Es hilft, sich zunächst nochmal die Definitionen anzusehen:
[mm] V = U \oplus W[/mm] bedeutet einerseits, dass jedes [mm] v \in V[/mm] geschrieben werden kann als [mm] v = u + w, \; u \in U, \; w \in W[/mm] und andererseits, dass gilt: [mm] U \cap W = \{ 0 \}[/mm].
Kümmern wir uns zunächst um die zweite Aussage. Der Kern von [mm] \phi[/mm] und das Bild sind Untervektorräume, also liegt die 0 in jedem Fall im Schnitt. Sei umgekehrt also [mm] v \in ker \; \phi \cap \phi(V)[/mm] beliebig. Dann müssen wir zeigen, dass [mm] v = 0 [/mm] ist. Und dazu dürfen wir die Voraussetzung über [mm] \phi [/mm], also die Idempotenz ausnutzen. Ich will hier nicht mehr verraten, aber eine schnelle Umformung zeigt sofort, was gezeigt werden muß. Vielleicht ein Tipp:
[mm] v \in \phi(V) \Rightarrow \; \exists \; w \in V : \phi(w) = v[/mm]
Zum zweiten Teil: wir müssen zeigen, dass sich ein beliebiges [mm] v \in V[/mm] zerlegen läßt in ein Element aus dem Bild und eines aus dem Kern von [mm] \phi [/mm]. Auch hier hilft ein kleiner Trick:
[mm] v = v - \phi(v) + \phi (v)[/mm]
Diese Gleichung ist sicher richtig. Und der letzte Summand liegt ganz bestimmt im Bild. Wenn man dann noch zeigen könnte, dass [mm] v - \phi(v) \in ker \; \phi[/mm] gilt, dann wäre man schon fertig. Wiederum kommt die Idempotenz und Linearität von [mm] \phi [/mm] zu Hilfe!
So, das sollte genügen... den Rest überlasse ich dem geneigten Studenten als Übungsaufgabe. ;)
Gnometech
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