identisch verteilte ZV < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:18 So 08.02.2009 | | Autor: | SaNNerl |
| Aufgabe | Seien X1, X2 ~ U([0,1]) und X3 = X1 * X2.
a) Sind X1, X2, X3 identisch verteilt (mit Voraussetzung X1, X2 unabhängig oder ohne diese Voraussertzung)?
b) Sind X1, X2, X3 unabhängig? |
Laut Musterlösung müsste die Aufgabe wie folgt gelöst werden, wenn vorausgesetzt wird, dass X1, X2 unabhängig sind:
a)
[mm] P(X3\le\bruch{1}{4}) [/mm] = [mm] P(X1*X2\le\bruch{1}{4} [/mm] ) > [mm] P((X1\le\bruch{1}{2})\cap(X2\le\bruch{1}{2})) [/mm] = [mm] P({X1\le\bruch{1}{2} )})*P({X2\le\bruch{1}{2} )}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] = [mm] P(X1\le\bruch{1}{4}) [/mm]
Wie kommt man auf die Zahlen 1/2 oder 1/4? Sind das nur Beispielzahlen?
Woher kommt das > -Zeichen? Warum muss das hier stehen?
b)
[mm] P((X3\le\bruch{1}{2})\cap(X1\le\bruch{1}{2})) [/mm] = [mm] P(X1\le\bruch{1}{2})= \bruch{1}{2}
[/mm]
> [mm] P(X3\le\bruch{1}{2})*\bruch{1}{2} [/mm] = [mm] P((X3\le\bruch{1}{2})*(X1\le\bruch{1}{2}))
[/mm]
Hier verstehe ich eigentlich das komplete Vorgehen nicht.
Kann mir jemand die Lösungen erklären?
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:26 So 08.02.2009 | | Autor: | SaNNerl |
| Aufgabe | | Geben Sie ein Beispiel für Zufallsvariablen [mm] X_1, X_2 [/mm] an, sodass die Zufallsvektoren X = [mm] (X_1, X_2) [/mm] und X' = [mm] (X_2, X_1) [/mm] nicht identisch verteilt sind, obwohl [mm] X_1, X_2 [/mm] identisch verteilt sind. |
Zunächst die Musterlösung:
Sei [mm] X_1 [/mm] ~ U({0, 1, 2}) und [mm] X_2 [/mm] = [mm] (X_1 [/mm] + 1) mod 3.
Dann ist auch [mm] X_2 [/mm] ~ U ({0, 1, 2}), aber [mm] P_X({(0, 1)}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] = [mm] P_{X'}({(0, 1)}).
[/mm]
Kann mir jemand diese Lösung erklären?
Oder hat jemand ein anderes besseres Beispiel?
Vielen Dank im voraus?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:24 So 08.02.2009 | | Autor: | vivo |
> Geben Sie ein Beispiel für Zufallsvariablen [mm]X_1, X_2[/mm] an,
> sodass die Zufallsvektoren X = [mm](X_1, X_2)[/mm] und X' = [mm](X_2, X_1)[/mm]
> nicht identisch verteilt sind, obwohl [mm]X_1, X_2[/mm] identisch
> verteilt sind.
> Zunächst die Musterlösung:
> Sei [mm]X_1[/mm] ~ U({0, 1, 2}) und [mm]X_2[/mm] = [mm](X_1[/mm] + 1) mod 3.
> Dann ist auch [mm]X_2[/mm] ~ U ({0, 1, 2}), aber [mm]P_X({(0, 1)})[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm] = [mm]P_{X'}({(0, 1)}).[/mm]
>
> Kann mir jemand diese Lösung erklären?
> Oder hat jemand ein anderes besseres Beispiel?
das beispiel ist doch super!
also, die ZV [mm] X_1 [/mm] nimmt mit jeweils 1/3 Wkeit die werte 0,1 oder 2 an.
Ist [mm] X_1 [/mm] = 0 dann doch [mm] X_2 [/mm] = 1
[mm] X_1 [/mm] = 1 dann [mm] X_2 [/mm] = 2
[mm] X_1 [/mm] = 2 dann [mm] X_2 [/mm] = 0
also nimmt [mm] X_2 [/mm] ebenfalls mit jeweils 1/3 wkeit, die werte 0,1 oder 2 an, ist also genauso verteilt wie [mm] X_1.
[/mm]
also ist die wkeit, dass der Vektor [mm] (X_1,X_2) [/mm] = (0,1) ist, eben 1/3 dies ist aber ungleich der Wkeit dass [mm] (X_2,X_1) [/mm] = (0,1) ist, die ist nämlich 0.
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:12 So 08.02.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
wir beginnen mal mit b)
b)
> [mm]P((X3\le\bruch{1}{2})\cap(X1\le\bruch{1}{2}))[/mm] =
> [mm]P(X1\le\bruch{1}{2})= \bruch{1}{2}[/mm]
> >
> [mm]P(X3\le\bruch{1}{2})*\bruch{1}{2}[/mm] =
> [mm]P((X3\le\bruch{1}{2})*(X1\le\bruch{1}{2}))[/mm]
>
> Hier verstehe ich eigentlich das komplete Vorgehen nicht.
>
> Kann mir jemand die Lösungen erklären?
die Frage ist doch ob die ZV's unabhängig sind, die Bedingung dafür lautet allgemein:
[mm]P( (X_1 \le a) \cap (X_2 \le b) = P(X_1 \le a) P(X_2 \le b)[/mm]
so und dass machst du jetzt Eben mit [mm] X_3 [/mm] und [mm] X_1, [/mm] denn [mm] X_2 [/mm] ist ja genauso verteilt wie [mm] X_1 [/mm] also reicht's.
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] wurde nur genommen weil es damit halt schön einfach geht ...
also: dass [mm] X_3 [/mm] kleiner 1/2 und [mm] X_1 [/mm] kleiner1/2 ist, ist genau dann der Fall wenn [mm] X_1 [/mm] kleiner 1/2 ist denn [mm] X_2 [/mm] kann dann ja jeden wert zwischen 0 und 1 annehmen ohne dass [mm] X_3 [/mm] größer 1/2 wird. Dies ist aber ungleich dem Produkt der beiden Einzelwahrscheinlichkeiten. Deshalb sind die ZV's nicht unabhängig.
nun zur a)
> a)
> [mm]P(X3\le\bruch{1}{4})[/mm] = [mm]P(X1*X2\le\bruch{1}{4}[/mm] ) >
> [mm]P((X1\le\bruch{1}{2})\cap(X2\le\bruch{1}{2}))[/mm] =
> [mm]P({X1\le\bruch{1}{2} )})*P({X2\le\bruch{1}{2} )})[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{4}[/mm] = [mm]P(X1\le\bruch{1}{4})[/mm]
>
> Wie kommt man auf die Zahlen 1/2 oder 1/4? Sind das nur
> Beispielzahlen?
> Woher kommt das > -Zeichen? Warum muss das hier stehen?
die wkeit dass [mm] X_3 [/mm] = [mm] X_1 X_2 [/mm] kleiner als 1/4 ist doch größer als die Wkeit dass [mm] X_1 [/mm] kleiner und [mm] X_2 [/mm] jeweils kleiner als 1/2 sind, denn wenn [mm] X_1 [/mm] kleiner oder gleich 1/2 und [mm] X_2 [/mm] ebenso dann kommt für [mm] X_1 [/mm] mal [mm] X_2 [/mm] ein wert kleiner gleich 1/4 raus aber es gibt noch mehr fälle für die das produkt kleiner gleich 1/4 ist nämlich wenn [mm] X_1 [/mm] oder [mm] X_2 [/mm] kleiner gleich 1/4 ist und jeweils andere kann dann alle werte zwischen null und 1 annehmen. Also muss die Wkeit, dass [mm] X_1 [/mm] mal [mm] X_2 [/mm] kleiner gleich 1/4 ist größer sein als die Wkeit dass [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2 [/mm] jeweils kleiner gleich 1/2 sind, dass ist aber wenn man unabhängigkeit voraussetzt = 1/4 und deshalb ist [mm] X_3 [/mm] dann identisch verteilt.
gruß
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