implizit differenzieren < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:23 Do 30.07.2009 | | Autor: | matze3 |
| Aufgabe | Eine Kurve ist implizit gegeben durch [mm] y^{5}*x^{5}+2*x*y=36.
[/mm]
Zeigen Sie, dass P(2/1) auf der Kurve liegt und bestimmen Sie y' und y'' in P. |
Guten Tag.
Ich habe einige Probleme beim differenzieren.
Ich fang jetzt nicht ganz von vorne an. Frage habe ich auch gecheckt.
[mm] y^{5}(x)*x^{5}+2x*y(x)=36
[/mm]
implizit differenziert:
(1) [mm] 5y^{4}*y'*x^{5}+y^{5}*5x^{4}+2y+2xy'=0 [/mm] (bis hierher ist alles klar)
nochmals differenziert:
[mm] 20y^{3}*y'^{2}*x^{5}+5y^{4}*y''* x^{5}+25y^{4}y'*x^{4}+25y^{4}y'*x^{4}+20y^{5}*x^{3}+4y'+2xy''=0 [/mm]
Ist das einfach die Ableitung von (1)?
Gruß Matze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:26 Do 30.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Eine Kurve ist implizit gegeben durch
> [mm]y^{5}*x^{5}+2*x*y=36.[/mm]
> Zeigen Sie, dass P(2/1) auf der Kurve liegt und bestimmen
> Sie y' und y'' in P.
> Guten Tag.
>
> Ich habe einige Probleme beim differenzieren.
>
> Ich fang jetzt nicht ganz von vorne an. Frage habe ich auch
> gecheckt.
>
>
> [mm]y^{5}(x)*x^{5}+2x*y(x)=36[/mm]
>
> implizit differenziert:
>
> (1) [mm]5y^{4}*y'*x^{5}+y^{5}*5x^{4}+2y+2xy'=0[/mm] (bis
> hierher ist alles klar)
>
> nochmals differenziert:
>
> [mm]20y^{3}*y'^{2}*x^{5}+5y^{4}*y''* x^{5}+25y^{4}y'*x^{4}+25y^{4}y'*x^{4}+20y^{5}*x^{3}+4y'+2xy''=0[/mm]
>
>
> Ist das einfach die Ableitung von (1)?
Genau
FRED
>
> Gruß Matze
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Do 30.07.2009 | | Autor: | matze3 |
[mm] 5y^{4}*y'*x^{5}+y^{5}*5x^{4}+2y+2xy'=0
[/mm]
[mm] 20y^{3}*y'^{2}*x^{5}+5y^{4}*y''* x^{5}+25y^{4}y'*x^{4}+25y^{4}y'*x^{4}+20y^{5}*x^{3}+4y'+2xy''=0
[/mm]
Wie komme ich auf
[mm] .......25y^{4}y'*x^{4}+25y^{4}y'*x^{4}+20y^{5}*x^{3}.......
[/mm]
wie kommt diese Ableitung zustande?
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Hallo Matze!
Zum Beispiel für den Term [mm] $5*y^4*y'*x^5$ [/mm] musst du die  Produktregel für 3 Faktoren anwenden:
[mm] $$\left(u*v*w\right)' [/mm] \ = \ u'*v*w+u*v'*w+u*v*w'$$
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Do 30.07.2009 | | Autor: | matze3 |
[mm] 5y^{4}\cdot{}y'\cdot{}x^{5}+y^{5}\cdot{}5x^{4}+2y+2xy'
[/mm]
Habe ich so richtig abgeleitet? Ich weiss, man könnte alles noch kürzen.
[mm] 20y^{3}*y'*x^{5}+5y^{4}*y''*x^{5}+5y^{4}*y'*5x^{4} [/mm] + [mm] 5y^{4}*5x^{4}+y^{5}*20x^{3} [/mm] + 2y + 2*y'+2x*y''
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Hallo Matze!
Das stimmt noch nicht ganz. Du musst auch die Kettenregel beachten.
Beispiel:
[mm] $$\left( \ y^5 \ \right)' [/mm] \ = \ [mm] 5*y^4*\red{y'}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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