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Hi,
ich sollte folgende Aufgabe lösen:
Zeigen Sie, dasss sich die Gleichungen xu+yvu²=2 und [mm] xu³+y²$v^4$=2 [/mm] für u und v in einer Umgebung des Punktes (1,1,1,1) als Funktion von x & y eindeutig auflösen lassen und berechnen Sie [mm] $\bruch{\partial v}{\partial y}$ [/mm] an der Stelle (1,1).
Also ich habe es folgendermaßen probiert:
F(u,v,x,y)= [mm] $\vektor{xu+yvu²-2 \\ xu³+y²v^4-2}$
[/mm]
Da F(1,1,1,1)=0 und F stetig differenzierbar mit
F'(u,v,x,y)= [mm] $\pmat{ x+2uvy & yu² & u & u²v \\ 3u²x & 4v³y² & u³ & 2y v^4 }$.
[/mm]
Da [mm] det(\bruch{ \partial F}{\patial u,v})=9 [/mm] ist, daher regulär lässt sisich eindeutig auflösen (??).
Stimmt das soweit?
Mein nächsten Problem ist [mm] $\bruch{\partial v}{\partial y}$. [/mm] Wie berechnet man das?
Hoffe es kann mir jemand helfen.
Mfg,
Martin
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Hallo,
> Da [mm]det(\bruch{ \partial F}{\patial u,v})=9[/mm] ist, daher
> regulär lässt sisich eindeutig auflösen (??).
> Stimmt das soweit?
Ja, das stimmt.
> Mein nächsten Problem ist [mm]\bruch{\partial v}{\partial y}[/mm].
> Wie berechnet man das?
Zunächst sieht die Funktion so aus:
[mm]F\left( {x,\;y,\;u\left( {x,\,y} \right),\;v\left( {x,\;y} \right)} \right)\; = \;0][/mm]
Um jetzt die partiellen Ableitungen nach x bzw.y zu bilden, wendest Du die Kettenregel an (implizites Differenzieren):
[mm]
\begin{gathered}
\frac{\delta }
{{\delta x}}\;:\;F_x \; + \;F_u \;u_x \; + \;F_v \;v_x \; = \;0 \hfill \\
\frac{\delta }
{{\delta y}}\;:\;F_y \; + \;F_u \;u_y \; + \;F_v \;v_y \; = \;0 \hfill \\
\end{gathered}
[/mm]
Da es sich um eine vektorwertige Funktion, hast Du zwei 2x2-Gleichungssysteme zu lösen.
Gruß
MathePower
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Vielen Dank für die Antwort.
> Zunächst sieht die Funktion so aus:
>
> [mm]F\left( {x,\;y,\;u\left( {x,\,y} \right),\;v\left( {x,\;y} \right)} \right)\; = \;0][/mm]
>
> Um jetzt die partiellen Ableitungen nach x bzw.y zu bilden,
> wendest Du die Kettenregel an (implizites Differenzieren):
>
> [mm]
\begin{gathered}
\frac{\delta }
{{\partial x}}\;:\;F_x \; + \;F_u \;u_x \; + \;F_v \;v_x \; = \;0 \hfill \\
\frac{\partial }
{{\partial y}}\;:\;F_y \; + \;F_u \;u_y \; + \;F_v \;v_y \; = \;0 \hfill \\
\end{gathered}
[/mm]
>
> Da es sich um eine vektorwertige Funktion, hast Du zwei
> 2x2-Gleichungssysteme zu lösen.
Das verstehe ich nicht ganz. Mir ist zwar klar dass man die kettenregel benützen muss, nur weiss ich ja eigentlich nichts über [mm] $u_x, u_y, v_x, v_y$, [/mm] oder doch? Vielleicht kann das jemand genauer für mich DAU erklären?
Martin
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Hallo,
> Das verstehe ich nicht ganz. Mir ist zwar klar dass man die
> kettenregel benützen muss, nur weiss ich ja eigentlich
> nichts über [mm]u_x, u_y, v_x, v_y[/mm], oder doch? Vielleicht kann
> das jemand genauer für mich DAU erklären?
Die partiellen Ableitungen [mm]u_x, u_y, v_x, v_y[/mm] sind aus den Gleichungssystemen zu bestimmen.
Gruß
MathePower
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