\infty-\infty umformen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:03 Do 26.08.2010 | | Autor: | Bling |
| Aufgabe | | Berechne [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(\wurzel{x*(x+a)}-x) [/mm] |
Ich hatte ähnliche Probleme jetzt schon einige male... eigentlich geht das mit dem Grenzwerte berechnen recht gut, ausser, dass ich nicht weiss wie man den Fall [mm] "\infty-\infty" [/mm] in eine Bruch umformen kann, damit man danach den Satz von de l'Hospital anwenden kann.
Gibt es dazu eine gute Erklärung?
|
|
| |
|
> Berechne [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}(\wurzel{x*(x+a)}-x)[/mm]
> Ich hatte ähnliche Probleme jetzt schon einige male...
> eigentlich geht das mit dem Grenzwerte berechnen recht gut,
> ausser, dass ich nicht weiss wie man den Fall
> [mm][/mm] in eine Bruch umformen kann, damit man
> danach den Satz von de l'Hospital anwenden kann.
>
> Gibt es dazu eine gute Erklärung?
Hallo,
man kann in solchen Fällen wie oben oft mit Gewinn die 3. binomische Formel verwenden.
Schau: [mm]\sqrt{(x-a)x}-x=\frac{(\sqrt{(x-a)x}-x)(\sqrt{(x-a)x}+x)}{(\sqrt{(x-a)x}+x)}[/mm]
Nach dem Hinschreiben des Zählers klammere oben und unten x aus.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:42 Do 26.08.2010 | | Autor: | Bling |
ok... dann erhalte ich folgendes:
[mm] \bruch{a*x}{\wurzel{x^2+a}+x}
[/mm]
jetzt wärs ja super wenn ich im Nenner noch ein x ausklammern könnte oder?!? dann kürzt sich das weg und ich hab nur noch x im Nenner.
Kannst du mir dieses Ausklammern aus der Wurzel detailiert erklären?
|
|
|
| |
|
Hallo!
> ok... dann erhalte ich folgendes:
>
> [mm]\bruch{a*x}{\wurzel{x^2+a}+x}[/mm]
Fast richtig, im Nenner ein Schreibfehler: Richtig ist [mm]\frac{a*x}{\sqrt{x^2+a*x}+x}[/mm]
> jetzt wärs ja super wenn ich im Nenner noch ein x
> ausklammern könnte oder?!? dann kürzt sich das weg und
> ich hab nur noch x im Nenner.
>
> Kannst du mir dieses Ausklammern aus der Wurzel detailiert
> erklären?
Wenn du "aus der Wurzel" ein x ausklammern möchtest, musst du IN der Wurzel zunächst ein [mm] x^2 [/mm] ausklammern:
[mm]\frac{a*x}{\sqrt{x^2+a*x}+x} = \frac{a*x}{\sqrt{x^2*\left(1+\frac{a}{x}\right)}+x}[/mm].
Nun als Nächstes das [mm] x^{2} [/mm] aus der Wurzel herausziehen (also die Wurzel anwenden):
[mm]= \frac{a*x}{x*\sqrt{1+\frac{a}{x}}+x}[/mm]
Hier wenden wir übrigens an, dass x>0 gilt (weil wir den Grenzübergang [mm] \to +\infty [/mm] betrachten). Wenn man die Wurzel anwendet, muss am Ende nämlich immer etwas Positives dastehen. Würden wir also den Grenzübergang [mm] x\to -\infty [/mm] untersuchen, müssten wir wegen x <0 stattdessen (-x) aus der Wurzel ausklammern!
Nun im Zähler und Nenner x ausklammern und kürzen:
[mm]= \frac{x*(a)}{x*\left(\sqrt{1+\frac{a}{x}}+1\right)} = \frac{a}{\sqrt{1+\frac{a}{x}}+1}[/mm]
Nun [mm]x \to\infty[/mm].
Was erhältst du?
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:09 Do 26.08.2010 | | Autor: | Bling |
Ach das war nicht mal Hexerei :D hät ich doch glatt selber draufkommen sollen... aber danke fürs erklären
nun gut... für diesen Grenzwert erhalt ich dann, da a/x gegen 0 geht und somit die wurzel gegen 1 geht, a/2, richtig?
Gruss Dani
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:47 Do 26.08.2010 | | Autor: | fencheltee |
> Ach das war nicht mal Hexerei :D hät ich doch glatt selber
> draufkommen sollen... aber danke fürs erklären
>
> nun gut... für diesen Grenzwert erhalt ich dann, da a/x
> gegen 0 geht und somit die wurzel gegen 1 geht, a/2,
> richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Gruss Dani
gruß tee
|
|
|
|
