inhom. DGL mit konstanten < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:12 So 29.07.2007 | | Autor: | aXe |
Hallo,
es geht um inhomogene DGL mit konstanten Koeffizienten.
Wir haben in unseren Vorlesungen die Methode "Typ der rechten Seite" verwendet.
Womit ich jetzt nicht zurechtkomme ist die Erkennung ob die Störfunktion (also der inhomogene Teil) ein Normalfall oder Resonanzfall ist. Ich stütze mich hier mal auf ein Beispiel aus dem "Repititorium der Höheren Mathematik" (Bsp. 16.56).
Man löse die DGL: [mm] y''-4*y'+5*y = 5*exp(x)*\cos(x) [/mm]
Ok, der homogene Teil ist klar für mich, da hab ich eine komplexe Nullstelle also ist [mm]y_h=c_1*exp(2x)*\cos x + c_2*exp(2x)*\sin x[/mm]
Nun zum inhomogenen Teil. Der ist ja [mm]y_i=5*exp(x)*\cos(x)[/mm].
Dann folgt in dem Beispiel gleich die Feststellung ob es nun Resonanz ist oder nicht. Also steht dann da: [mm]y_i=5*exp(x)*\cos(x)\Rightarrow a+bi = 1+i \Rightarrow[/mm]keine Resonanz!
Dann entsprechend weiter mit dem richtigen Ansatz...
Nun wie kommt man darauf ob das eine Resonanz hat oder nicht? In anderen Beispielen ist die inhomogene Funktion: [mm]y_i=8*x*exp(x)\Rightarrow a+bi = 1\Rightarrow[/mm] 1-fache Resonanz.
Ich werde aus den Beispielen einfach nicht schlau.
Gruß, Thomas
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo
es ist für mich etwas schwierig zu antworten, da ich "Repititorium der Höheren Mathematik" (Bsp. 16.56).nicht kenne.
Aber ich vermute man betrachtet die Inhomogenität 5*exp(x)*exp(ix)=5*exp((1+i)x)
Hat man dann eine Lösung dafür, so ist deren Realteil Lösung der gegebenen inhomogenen DGL.
Da 1+i keine Nullstelle von der Gleichung [mm] t^{2}-4t+5 [/mm] ist liegt kein Resonanzfall vor.
>
> Nun wie kommt man darauf ob das eine Resonanz hat oder
> nicht? In anderen Beispielen ist die inhomogene Funktion:
> [mm]y_i=8*x*exp(x)\Rightarrow a+bi = 1\Rightarrow[/mm] 1-fache
> Resonanz.
Dazu müsste man auch die homogene Gleichung kennen. Aber vielleicht kommst du ja jetzt schon selber weiter.
Gruß korbinian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:02 Mo 30.07.2007 | | Autor: | aXe |
Hallo,
danke für die Antwort. Ich bin mittlerweile selber draufgekommen.
Dass man die homogene Gleichung kennen muss, da hast du recht. Mir war nicht die notwendigkeit in diesem Beispiel bewusst.
Also an alle Nachfolger die es noch wissen möchten:
Der homogene Teil hat die Nullstellen [mm]lambda_1 , lambda_2 ... [/mm] und so weiter.
Nun betrachtet man die Störfunktion, also den inhomogenen Teil der Gleichung. Mit [mm]y_i=8\cdot{}x\cdot{}exp(x)[/mm] prüft man mittels [mm]lambda = a+bi[/mm]ob diese Störfunktion auch Nullstellen hat, die gleich den Nullstellen des char. Polynoms (homogener Teil) sind. In meinem Fall war es die 1, also kommt die NS 1 auf beiden Seiten vor und somit ergibt sich eine Resonanz mit [mm]x^1[/mm].
Trotzdem Danke! :)
Gruß, Thomas
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