inhomogenes Gls < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:00 Di 18.01.2005 | | Autor: | maria |
Hallo ihr!
Ich beschäftige mich zur Zeit mit Gleichungssystemen. Ich weiß was ein inhomogenes lineares Gleichungssystem ist, also wenn Ax=b mit [mm] b\not=0, [/mm] richtig? Ich weiß auch, wie man so ein Gls mit Matrizen bzw. dem Gaußschen Algorithmus löst. Einwas versteh ich aber noch nicht, was wir aufgeschrieben haben, und zwar: Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem Ax=b ist genau dann lösbar, wenn Rang A=Rang(A|b). Rang A hab ich schon gelernt, wie man den mithilfe von Matrizen bestimmt, aber was ist denn Rang(A|b)? Und wie bestimmt man den im Unterschied zu Rang A??? Und wann ist das Gls eindeutig lösbar?
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Halli hallo!
Also (A|b) bezeichnet eine neue Matrix, die aus A durch hinzufügen von b entsteht! Der Vektor b wird also als Spalte zu A hinzugefügt:
Also
[mm] A=\pmat{1 & 2 & 3 & 4\\2 & 3 & 4 & 5\\3 & 4 & 5 & 6\\4 & 5 & 6 & 7}
[/mm]
und [mm] b=\vektor{9\\8\\7\\6}
[/mm]
Dann ist [mm] (A|b)=\pmat{1 & 2 & 3 & 4 & 9\\2 & 3 & 4 & 5 & 8\\3 & 4 & 5 & 6 & 7\\4 & 5 & 6 & 7 & 6}
[/mm]
Dein Gleichungssystem ist also genau dann lösbar, wenn der Rang der beiden Matrizen A und (A|b) gleich ist!
Das System [mm] A=\pmat{1&2&3\\2&4&6\\3&6&9} [/mm] mit [mm] b=\vektor{1\\1\\1}
[/mm]
hat Rang(A)=1, aber Rang(A|b)=3
Also besitz das System keine Lösung!
Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen!
Liebe Grüße
Ulrike
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:28 Di 18.01.2005 | | Autor: | maria |
Oh ja, das konntest du!!!! Das ist ja ganz einfach *freu* Vielen, vielen lieben Dank an dich!!!!!!
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