injektiv-surjektiv < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:04 Do 27.01.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo!
Könnt ihr mir bitte auch bei dieser Aufgabe helfen?
Aufgabe:
Seien U, V, W, X K-Vektorräume. Weiter seien f: U [mm] \to [/mm] V, g: V [mm] \to [/mm] W,
h: W [mm] \to [/mm] X lineare Abbildungen mit im(f) = ker(g) und im(g) = ker(h).
Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(i) f ist surjektiv.
(ii) h ist injektiv.
Gilt hier auch, dass U ein Untervektorraum von V ist und W = V/U?
Wie zeige ich hier die Äquivalenz?
Warum ist f überhaupt surjektiv? Muss f nicht injektiv sein?
Ich wäre euch dankbar für Hilfe! Danke!
Ciao!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:27 Fr 28.01.2005 | | Autor: | Clemens |
Hallo VHN!
"[mm]\Rightarrow[/mm]"
Sei f surjektiv. Dann ist im f = V und nach Voraussetzung ker g = im f = V. Wenn ker g = V, dann im g = {0} und nach Voraussetzung ker h = {0}. Und damit ist h injektiv.
"[mm]\Leftarrow[/mm]"
Sei h injektiv. Dann ist ker h = {0} und nach Voraussetzung im g = {0}. Daraus folgt ker g = V und nach Voraussetzung im f = V. Also ist f surjektiv.
> Gilt hier auch, dass U ein Untervektorraum von V ist und W
> = V/U?
Die Aufgabenstellung besagt das nicht.
> Wie zeige ich hier die Äquivalenz?
Welche Äquivalenz?
> Warum ist f überhaupt surjektiv? Muss f nicht injektiv
> sein?
Wenn f injektiv wäre, würde ker f = {0} gelten. Diese Aussage können wir aber nicht weiterverarbeiten (die Aufgabenstellung gibt dazu keine Gleichung).
Grüße aus dem Computerraum des belebten Theodor-Heuss-Gymnasiums in Freiburg!
Clemens
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 So 30.01.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo!
Erst mal danke für deine Hilfe!
Ich hätte da aber noch eine Frage zu [mm] \Leftarrow:
[/mm]
Ich verstehe nicht ganz, wie du aus "Daraus folgt ker g = V und nach Voraussetzung im f = V." folgst, dass f surjektiv ist.
Surjektivität (von f) bedeutet doch, dass es zu jedem v [mm] \in [/mm] V ein u [mm] \in [/mm] U gibt mit f(u)=v, oder?
Könntest du mir bitte noch einmal erklären, wie du so schnell auf die Surjektivität kommst?
Danke schön!
Ciao!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:35 Mo 31.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
also h injektiv bedeutet : ker h = {0} (trivialer Kern)
f surjektiv bedeutet : im f = V (das Bild ist der gesamte Bildraum, d.h. doch gerade, dass jedes Element aus V ein Urbild hat)
so und jetzt weißt du bei der Rückrichtung: "<=" : h is injektiv, also ker h= {0} die soll aber gleich dem Bild von g sein, also im g = {0} , d.h. alles wird auf Null abgebildet (g ist Nullabbildung), d.h. ker g = V
dies soll aber wiederum gleich dem Bild von f sein, also im f= V
und damit ist f surjektiv.
nochmal:
(im f) sind alle Elemente aus V, die "von f getroffen werden",
d.h. wenn im f = V hat jedes Element aus v ein Urbild unter f, f ist also surjektiv.
viele Grüße
DaMenge
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