injektiv? surjektiv? < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
meine Übungsleiterin heute meinte, dass es gut sein kann, dass man mich in der Klausur nach surjektivität oder Injektivität von einer linearen Abbildung fragt, was aber "sehr einfach" zu bestimmen sei.
Kann mir jemand die Kriterien dazu nennen? Ich wüsste jetzt nicht wirklich, woran ich das erkennen sollte.
Höchstens an den angegebenen Dimensionen, aber was genau sagen mir diese und was muss ich dazu wissen?
Ich wäre euch dankbar, wen ihr mir helfen könntet!
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Hallo,
bei injektiven Funktionen ist der Kern(A)={0}, d.h. nur der Nullvektor geht in den Nullvektor über, und damit ist DefektA=0.
Das fällt mir spontan dazu ein.
lg Kai
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Di 03.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> meine Übungsleiterin heute meinte, dass es gut sein kann,
> dass man mich in der Klausur nach surjektivität oder
> Injektivität von einer linearen Abbildung fragt, was aber
> "sehr einfach" zu bestimmen sei.
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> Kann mir jemand die Kriterien dazu nennen? Ich wüsste jetzt
> nicht wirklich, woran ich das erkennen sollte.
>
> Höchstens an den angegebenen Dimensionen, aber was genau
> sagen mir diese und was muss ich dazu wissen?
>
> Ich wäre euch dankbar, wen ihr mir helfen könntet!
![[]](/images/popup.gif) Skript
Du solltest wissen:
[mm] $\bullet$ [/mm] Korollar auf Seite 53
[mm] $\bullet$ [/mm] die Aussage von Aufgabe 18 auf Seite 55
[mm] $\bullet$ [/mm] die Lösbarkeitskriterien auf Seite 77
[mm] $\bullet$ [/mm] eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn der Kern nur aus dem Nullvektor besteht
.
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Auch bei Wiki steht das meiste, was Du wissen solltest. Such' am besten mal in Eurem Skript nach, was davon behandelt wurde, insbesondere schlag' nach, was häufig bei Übungsaufgaben (auch in der Musterlösung) angewendet wurde. Da solltest Du den Schwerpunkt beim Lernen drauf legen.
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
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> meine Übungsleiterin heute meinte, dass es gut sein kann,
> dass man mich in der Klausur nach surjektivität oder
> Injektivität von einer linearen Abbildung fragt, was aber
> "sehr einfach" zu bestimmen sei.
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> Kann mir jemand die Kriterien dazu nennen? Ich wüsste jetzt
> nicht wirklich, woran ich das erkennen sollte.
>
> Höchstens an den angegebenen Dimensionen, aber was genau
> sagen mir diese und was muss ich dazu wissen?
Hallo,
Du kannst ja so hübsch von gegebenen darstellenden Matrizen den Kern und das Bild bestimmen.
Wie mehrfach erwähnt: wenn der Kern nur aus dem Nullvektor besteht, ist die zugehörige Abbildung injektiv.
surjektiv: wenn der Rang der Matrix = Anzahl ihrer Zeilen ist.
Gruß v. Angela
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Kann ich denn sagen:
[mm] \IR^2 [/mm] -> [mm] \IR^3 [/mm] kann nie surjektiv sein, also auch nicht bijektiv also injektiv
[mm] \IR^3 [/mm] -> [mm] \IR^2 [/mm] kann nie injektiv sein, also nicht bijektiv, aber surjektiv (ist es dann auch surjektiv?)
und
[mm] \IR^n [/mm] -> [mm] \IR^n [/mm] ist dann surjektiv, wenn Ran(A)=n und injektiv, wenn der Kern der Nullvektor ist?
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> Kann ich denn sagen:
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> f:[mm]\IR^2[/mm] -> [mm]\IR^3[/mm] kann nie surjektiv sein, also auch nicht
> bijektiv, also jedoch injektiv
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>f: [mm]\IR^3[/mm] -> [mm]\IR^2[/mm] kann nie injektiv sein, also nicht bijektiv,
> aber surjektiv (ist es dann auch surjektiv?)
Hallo,
die Abbildung
f: [mm]\IR^3[/mm] -> [mm]\IR^2[/mm] kann surjektiv sein, muß aber nicht.
injektiv kann sie nicht sein.
Bei der ersten Deiner Funktionen entsprechend.
>
> und
>
> [mm]\IR^n[/mm] -> [mm]\IR^n[/mm] ist dann surjektiv, wenn Ran(A)=n und
> injektiv, wenn der Kern der Nullvektor ist?
Ja.
Die Abbildungen von [mm] \IR^n\to \IR^n [/mm] haben noch eine zusätzliche Spezialität: wenn die injektiv sind, sind sie automatisch auch surjektiv und umgekehrt.
Gruß v. Angela
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> Wie mehrfach erwähnt: wenn der Kern nur aus dem Nullvektor
> besteht, ist die zugehörige Abbildung injektiv.
>
> surjektiv: wenn der Rang der Matrix = Anzahl ihrer Zeilen
> ist.
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ABer wenn ich einen Rang habe, der meinem n entspricht, dann habe ich doch nur den Nullvektor als Kern, oder?
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> > Wie mehrfach erwähnt: wenn der Kern nur aus dem Nullvektor
> > besteht, ist die zugehörige Abbildung injektiv.
> >
> > surjektiv: wenn der Rang der Matrix = Anzahl ihrer Zeilen
> > ist.
> >
> ABer wenn ich einen Rang habe, der meinem n entspricht,
> dann habe ich doch nur den Nullvektor als Kern, oder?
Hallo,
wenn der Rang= Anzahl der Spalten, dann besteht der Kern nur aus dem Nullvektor.
Falls Dein n also gerade die Anzahl der Spalten ist, dann hast Du recht.
Gruß v. Angela
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Achso, für deine Definition der Surjektivität meinst du mit n dann aber Zeilen, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:50 Fr 06.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Achso, für deine Definition der Surjektivität meinst du mit
> n dann aber Zeilen, oder?
es ist z.B. so gemeint:
Sei $A [mm] \in \IR^{m \times n}\,.$ [/mm] Dann kann $A$ vermittels [mm] $\IR^n \ni [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] A*x [mm] \in \IR^m$ [/mm] als lineare Abbildung [mm] $\IR^n \to \IR^m$ [/mm] aufgefasst werden.
Ist [mm] $\text{Rang}(A)=m=\text{Anzahl Zeilen von A}\,,$ [/mm] so ist [mm] $\text{Bild}(A)=\text{linspan}(\text{Spalten von }A)=\IR^m\,,$ [/mm] also ist die lineare Abbildung surjektiv.
Ist [mm] $\text{Rang}(A)=n=\text{Anzahl Spalten von A}$ [/mm] (m.a.W. die Spaltenvektoren sind linear unabhängig) so ist die lineare Abbildung injektiv.
Du kannst übrigens auch nochmal [https://matheraum.de/read?i=369596]diesen Thread[/url] lesen. (Aber sorgfältig, also bitte insbesondere Freds Korrekturhinweis beachten!!)
P.S.:
Angela hatte hier beim Kriterium (nicht Definition!!) der Surjektivität einer linearen Abbildung ja sowieso von den Zeilen gesprochen. Sorgfältigeres Lesen hätte die Frage erspart 
Gruß,
Marcel
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Und beim [mm] \IR^n\to \IR^n [/mm] reicht dann sozusagen eins der Kriterien?
Denn ich habe mir nun notiert: (seien die Zahlen nun die Exponenten meines R):
3->2: kann nur surjektiv sein; surjektiv, wenn Rang= Anzahl der Zeilen
2->3: kann nur injektiv sein; injektiv, wenn Kern=Nullvektor und Rang=Anzahl der Spalten
Und die allgemeinen Definitionen für NICHT injektiv:
für ein y (sei x->y) gibt es mehr als ein x
NICHT surjektiv:
für min ein y gibt es kein x
Ich wollte mir aber nochmal aufschreiben, was die Definitionen (in Worten) für "es IST injektiv/surjektiv" aufschreiben, aber irgendwie tu ich mir grad schwer. Kann da jemand nachhelfen bitte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:06 Fr 06.02.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Und beim [mm]\IR^n\to \IR^n[/mm] reicht dann sozusagen eins der
> Kriterien?
bei einer linearen Abbldung [mm] $\IR^n \to \IR^n$ [/mm] sind Injektivität, Surjektivität und Bijektivität äquivalent. Den Rest der Frage überlasse ich mal den anderen 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 So 08.02.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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