injektiv, surjektiv, beweise < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:37 So 29.10.2006 | | Autor: | unwanted |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich brauche ein beispiel für die lösung mit deren hilfe ich dann selber die lösungen finden kann. ich stecke hier fest weil ich nich weiss wie ich anfangen soll.
funktionen auf injektiv, surjektiv, bijektiv prüfen, beweise!
f: ZxZ -> Z, f(a,b) = a+b
f: N -> NxN, f(n) = (n, n+2)
f: ZxZ -> ZxZ, f(a,b) = (ab, a-b)
bitte hilfe zu lösungsansatz. ich weiss nicht wie ich injektivität bei zahlenpaaren wie ZxZ -> Z beweise.
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:56 So 29.10.2006 | | Autor: | DesterX |
Hallo!
> f: ZxZ -> Z, f(a,b) = a+b
Zeigen wir das mal anhand dieser Abbildung.
Die Definition zur surjektiv/injektiv kennst du ja sicher, richtig?
Zur Surjektivität:
Wir müssen uns die Frage stellen, ob jede Zahl z [mm] \in \IZ [/mm] durch f erreicht wird!
Das ist der Fall, denn versuche z zu erreichen, wähle z.B. dazu a=0 [mm] \in \IZ [/mm] und b=z [mm] \in \IZ [/mm] (also (o,z) [mm] \in \IZ [/mm] x [mm] \IZ) [/mm] und es gilt f(0,z)=z [mm] \forall [/mm] z [mm] \in \IZ
[/mm]
=> f surjektiv
Zur Injetivität:
Wird jede Zahl höchstens 1mal durch f erreicht?
Nein, denn es gilt z.B. f(0,1)=f(1,0)
=> f nicht injektiv
Also insgesamt: f ist nicht bijektiv
Viele Grüße
Dester
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:25 So 29.10.2006 | | Autor: | unwanted |
vielen danke. ich habe das an dieser aufgabe verstanden, aber das neue wissen bringt mich jetzt bei den anderen beiden aufgaben doch nicht weiter :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:50 So 29.10.2006 | | Autor: | DesterX |
Hallo nochmals,
hier mal ein paar Hilfestellungen:
f: N -> NxN, f(n) = (n, n+2)
Zur Surjektivität - nimm z.B. das Element (1,1) [mm] \in \IN [/mm] x [mm] \IN [/mm] - findest du ein n [mm] \in \IN [/mm] so dass (1,1) durch f erreicht wird? Was schließt du daraus?
Zur Injektivität: Sei f(n)=f(n') für n,n' [mm] \in \IN, [/mm] kannst du vielleicht zeigen (=> injektiv) oder widerlegen(=> nicht injektiv), dass n=n' ?
Stell mal deine Probleme genauer vor - es bringt dich sicher nicht weiter, wenn du nur die Lösung vorgesetzt bekommst
Liebe Grüße
Dester
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 So 29.10.2006 | | Autor: | unwanted |
Zur Injektivität: Sei f(n)=f(n') für n,n' $ [mm] \in \IN, [/mm] $ kannst du vielleicht zeigen (=> injektiv) oder widerlegen(=> nicht injektiv), dass n=n' ?
heißt das jetzt dass ich (n, n+2) = (n', n'+2) setzte, und das daraus dann n=n' folgt? und somit f injektiv ist? so weit war ich nämlich schon, wusste aber nicht ob das rightig ist.
es ist immer schwer für mich die ansätze selber zu finden wenn ich noch nie ein ähnliches beispiel hatte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 So 29.10.2006 | | Autor: | DesterX |
Das ist richtig! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ist ja kein Problem, wir helfen ja gerne ..
Was sagst du zur Surjektivität der 2. Funktion, hier alles klar?
Kommt dir zur 3. Funktion vielleicht eine ähnliche Idee zur Surjektivität?
Gruß
Dester
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 So 29.10.2006 | | Autor: | unwanted |
ich bin für die hilfe sehr dankbar. ich denke die surjektivität ist klar aber... wenn man ein n finden soll für (n, n+1) so dass z.b. (1,1) herrauskommt, das geht ja nie, für kein paar? weil immer n+2? also ist nie f(n) = (n,n)? ich höre mich nicht richtig an :S. kannst du das erläutern bitte? und wie ist das den bei der letzten wenn wir [mm] \IZ [/mm] haben? was ist mit den negativen zahlen? das letzte ist sehr verwirrend :S
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:30 So 29.10.2006 | | Autor: | DesterX |
Das klingt gar nicht falsch ;)
Wenn die 2. Funktion surjektiv wäre, könnten wir alle Elemente aus [mm] \IN [/mm] x [mm] \IN [/mm] erreichen, also auch (n,n) "-Paare" , wie du richtig vermutest! Doch das ist durch f tatsächlich nicht möglich, f kann also nicht surjektiv sein.
Tatsächlich genügt es jedoch beim Beweis ein Gegenbeispiel zu finden, also ein Element aus [mm] \IN [/mm] x [mm] \IN [/mm] was nicht erreicht wird - da wirste ja jetzt sicher schnell eins haben!
Bei der 3. Funktion würd ich dir vorschlagen, ebenfalls so eins zu suchen .. ;)
Gruß,
Dester
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 So 29.10.2006 | | Autor: | unwanted |
also ist die letzte nicht surjektiv, und kann ich das mit dem paar (0/-1) beweisen? und ist sie injektiv? kann ich einfach (ab, a-b) = (a'b', a'-b') nehmen und ist das dann a=a' und b=b' ich hab meine probleme mit zahlenpaaren :S
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:55 So 29.10.2006 | | Autor: | DesterX |
Zur Widerlegung der Surjektivität ist (0,-1) kein gutes Beispiel -
wähle z.B a=0 und b=1 oder aber b=0 und a=-1 (wird also gleich 2mal erreicht)
Das sollte dich aber in Bezug auf Injektivität stutzig machen ;)
Liegt denn (1,1) dieses Mal im Bild von f?
Gruß
Dester
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 So 29.10.2006 | | Autor: | unwanted |
Zur Widerlegung der Surjektivität ist (0,-1) kein gutes Beispiel -
wähle z.B a=0 und b=1 oder aber b=0 und a=-1 (wird also gleich 2mal erreicht)
Das sollte dich aber in Bezug auf Injektivität stutzig machen ;)
stimmt das denn? für f(0,1) = (0,-1) aber für f(0-1) = (0, 1) ist doch gar nich gleich. wird doch gar nich zwei mal erreicht. und das ist doch dann der beweis das sie nicht injektiv ist. und um surjektivität zu beweisen muss ich nachweisen dass f(x)=y. nun bin ich verwirrt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:26 So 29.10.2006 | | Autor: | unwanted |
mit f(0,1)=(0,-1)=f(-1,0) kann ich injektivität ausschließen, richtig? aber wie kann ich die surjektivität ausschließen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:37 So 29.10.2006 | | Autor: | DesterX |
Genau, so war das mit der Inj. gemeint.
Die Surjektivität lässt sich, wie ich schon verraten hatte, z.B. durch (1,1) ausschließen, denn:
Für a,b [mm] \in \IZ [/mm] gilt: ab=1 [mm] \gdw [/mm] a=b=1 oder a=b=-1
=> a-b= 0 - also liegt (1,1) nicht im Bild von f!
Somit ist f weder surj. noch inj. und du hast die Aufgaben endlich gelöst.
Viele Grüße,
Dester
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 So 29.10.2006 | | Autor: | unwanted |
ok vielen viele dank dass du so viel geduld hattest und mir dies alles verständlich gemacht hast :) nun zu abschluss noch eine letzte frage...
stimmt es dass f: [mm] \IN \to \IN [/mm] , f(n) = [mm] n^2 [/mm] nicht surjektiv ist? kann man dies beweisen mit f(-1) ist in [mm] \IN [/mm] nicht lösbar?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:23 So 29.10.2006 | | Autor: | DesterX |
Kein Problem, gerne ;)
wenn f: [mm] \IN [/mm] -> [mm] \IN [/mm] mit [mm] f(n)=n^2
[/mm]
dann ist die Funktion injektiv, aber nicht surjektiv.
Mit f(-1) kannst du leider nicht argumentieren, denn -1 [mm] \not\in \IN, [/mm] also gar nicht in deinem Defintitionsbereich. Aber schau dir das Bild von f mal an: {1,4,9,16,25,36,....}. Jedoch sind ja z.B. 2,3,5,6,7 usw. natürliche Zahlen die nicht durch f angenommen werden, also kann f nicht surjektiv sein
Dann noch schöne Abend!
Gruß
Dester
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