injektiv,surjektiv,bijektiv < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo ich habe mal eine ganz wichtige Frage.
Woran erkenne ich nochmal, ob eine Matrix injektiv oder surjektiv ist??? bijektiv ist sie ja wenn sie injektiv und surjektiv ist. Aber wann ist sie injektiv, wann bijektiv???
Ich danke schonmal im Voraus. Mit freundlichen Grüßen domenigge135
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Hallo!
Ich erinnere mich noch eine eine aussage ich der vorlesung. Wenn die Spalten der Matrix linear unabhängig sind dann ist die zugehörige Abbildung injektiv es gilt ja auch die aussage dass wenn eine lineare abbildung injektiv ist der Kern der zughörigen matrix null ist. Sind die Spalten der Matrix linear abhängig ist die zugehörige lineare Abbildung surjektiv.
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:36 Di 13.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
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> Ich erinnere mich noch eine eine aussage ich der vorlesung.
> Wenn die Spalten der Matrix linear unabhängig sind dann ist
> die zugehörige Abbildung injektiv es gilt ja auch die
> aussage dass wenn eine lineare abbildung injektiv ist der
> Kern der zughörigen matrix null ist.
>Sind die Spalten der
> Matrix linear abhängig ist die zugehörige lineare Abbildung
> surjektiv.
Das ist mit Sicherheit falsch. Nimm mal die Nullmatrix
FRED
>
> Gruß
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Hallo,
Du kannst das am Rang der Matrix ablesen:
ist der Rang= Anzahl der Spalten der Matrix , so ist die zugehörige Abbildung injektiv,
ist der Rang= Anzahl der Zeilen der Matrix, so ist die zugehörige Abbildung surjektiv.
Bijektiv Rang=Anzahl der Spalten=Anzahl der Zeilen.
Gruß v. Angela
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Ah doch so leicht  . Dankechön für die antwort. Eine Frage ist leider noch bei mir...
Es geht ja beim Rang darum eine Matrize zunächst in ZSF zu bringen. Daran kann man ja vieles ablesen z.B. auch ob linear abhängig oder unabhängig. Beim Rang achte ich ja dabei auf die Zeilen. Der Rang ist so groß wie die Anzahl der [mm] Zeilen\not=0.
[/mm]
Wobei achte ich aber, wenn ich die lineare abhängigkeit oder unabhängigkeit ablesen will. Achte ich dann auch auf die Zeilen???
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:49 Mo 18.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
es kommt drauf an, was du wissen willst. Wenn du wissen willst, ob die Spalten der Matrix linear unabhängig sind, dann muss gelten, dass die Anzahl der Pivotspalten gleich Anzahl der Spalten deiner Matrix ist. D.h. du musst dann auf die Spalten achten.
LG
Kroni
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Naja eigentlich geht es darum, zu zeigen ob z.B. die 2 Vektoren [mm] \vektor{1 \\ 2}\vektor{5 \\ 1}. [/mm] Ich stelle die Matrix auf und Löse nach Gauß [mm] \vmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }.
[/mm]
Ich kann sagen, dass linear unabhängig. Aber guck ich jetzt auf die Zeilen oder auf die Spalten???
Ich würde eher sagen auf die Zeilen oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:49 Mo 18.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Naja eigentlich geht es darum, zu zeigen ob z.B. die 2
> Vektoren [mm]\vektor{1 \\ 2}\vektor{5 \\ 1}.[/mm] Ich stelle die
> Matrix auf und Löse nach Gauß [mm]\vmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }.[/mm]
>
> Ich kann sagen, dass linear unabhängig. Aber guck ich jetzt
> auf die Zeilen oder auf die Spalten???
>
> Ich würde eher sagen auf die Zeilen oder?
ehrlich gesagt verstehe ich Deine Frage gerade nicht ganz, was Du nun hier wissen willst. Klar, wenn Du diese beiden Vekotren im [mm] $\IR^2$ [/mm] gegeben hast und sie auf lineare Unabhängikeit prüfen willst, ist das das gleiche, wie wenn Du prüfen willst, ob der (Spalten-)Rang der $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrix
[mm] $A:=\pmat{1 & 5 \\ 2 & 1}$
[/mm]
den Wert $2$ hat.
(Genausogut könntest Du auch den Zeilenrang von [mm] $A^T$ [/mm] berechnen.)
Es gilt aber generell, dass bei Matrizen der Spaltenrang mit dem Zeilenrang übereinstimmt. Wenn Du Angelas Aussagen, woran man mithilfe einer Matrix ablesen kann, ob die zugehörige lineare Abbildung surjektiv bzw. injektiv ist, zu Rate ziehst, so wirst Du wegen Spaltenrang=Zeilenrang eben bei einer quadratischen Matrix sofort das Ergebnis erhalten, welches schon erwähnt wurde:
Nämlich dass bei der zu einer quadratischen Matrix zugehörigen linearen Abbildung diese eben genau dann injektiv ist, wenn sie surjektiv ist (und damit auch genau dann, wenn sie bijektiv ist).
Oben hast Du eine quadratische Matrix, nämlich eine $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrix. Und die obigen zwei Zeilen sind genau dann linear unabhängig, wenn es die Spalten sind. Abgesehen davon, dass man sofort sieht, dass die Spalten (Zeilen) nicht linear abhängig sind (sonst wäre die eine ein Vielfaches der anderen), könnte man es auch mittels der Determinante nachrechnen:
[mm] $\det(A)=1*1-2*5=-9 \not=0$
[/mm]
Und da die Determinante nicht verschwindet, sind die Spalten (und damit auch die Zeilen) der obigen (quadratischen $2 [mm] \times [/mm] 2$-) Matrix linear unabhängig.
Also vielleicht ist Deine Frage auch nur nicht gut mit Deinem Beispiel gewählt. Nehmen wir mal die (offensichtlich linear unabhängigen) Vektoren
[mm] $\vektor{2\\3\\0\\1}, \vektor{4\\ 6\\ 2\\0}$
[/mm]
des [mm] $\IR^4$ [/mm] und dann stellst Du Deine Frage vll. nochmal, was Du nun meinst, bzgl. der linearen Unabhängigkeit dieser Vektoren...
Gruß,
Marcel
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ALso gut. Wenn ich nach Gauß in ZSF bringe, erhalte ich die Matrix [mm] \vmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 }. [/mm] Ich löse das ganze natürlich nach Nullvektor. Gauß sagt nun aus, dass wenn Anzahl der Vektoren=Anzahl der Nullverschiedenen...
...Hier weiß ich jetzt halt nicht ob Nullverschieden von der Spalte oder nullverschieden nach den Zeilen. Aber wenn ich nach den Zeilen gehe, dann kann ich sagen, dass Anzahl der Vektoren(2)=Anzahl der Nullverschiedenen Zeilen(2). Daraus folgt, dass die Vektoren linear unabhängig sind.
Eigentlich kann man ja beides ablesen. Also ob die Zeilen linear unabhängig sind, oder ob die Spalten linear unabhängig sind.
Worauf es mir jetzt allerdings ankommt, ist nur eine aussgae darüber zu machen, ob diese beiden Vektoren nun linear abhängig oder unabhängig sind. Wo kann ich dies nun ablesen??? Zeilen oder Spalten???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:46 Mo 18.02.2008 | | Autor: | Sabah |
> ALso gut. Wenn ich nach Gauß in ZSF bringe, erhalte ich die
> Matrix [mm]\vmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 }.[/mm] Ich löse
> das ganze natürlich nach Nullvektor. Gauß sagt nun aus,
> dass wenn Anzahl der Vektoren=Anzahl der
> Nullverschiedenen...
>
> ...Hier weiß ich jetzt halt nicht ob Nullverschieden von
> der Spalte oder nullverschieden nach den Zeilen. Aber wenn
> ich nach den Zeilen gehe, dann kann ich sagen, dass Anzahl
> der Vektoren(2)=Anzahl der Nullverschiedenen Zeilen(2).
> Daraus folgt, dass die Vektoren linear unabhängig sind.
Also, du hast hier 4 Zeilenvektor von raum [mm] \IR^{2} [/mm] oder 2 Spaltenvektor vom Raum [mm] \IR^{4}.
[/mm]
Dir muss klar sein, dass im Raum [mm] \IR^{2} [/mm] max. 2 vektoren zusammenn linearunabhängig sein kann.
In dem Fall hast du 4 Vektoren,die sind alle zusammen linearabhängig.
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> Eigentlich kann man ja beides ablesen. Also ob die Zeilen
> linear unabhängig sind, oder ob die Spalten linear
> unabhängig sind. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Die Zeilenvektoren sind linearabhängig.
> Worauf es mir jetzt allerdings ankommt, ist nur eine
> aussgae darüber zu machen, ob diese beiden Vektoren nun
> linear abhängig oder unabhängig sind. Wo kann ich dies nun
> ablesen??? Zeilen oder Spalten???
Du sagst hier "beiden", also meinst die Spaltenvektoren.
Die Spaltenvektoren sind linearunabhängig.
Wenn z.b 3 Spaltenvektoren gegeben ist, und du auf linearität prüfen willst, mache folgendes.
Schreibe Die Spaltenvektoren als Zeilen vektor in eine LGS. und bearbeite mit Gaus-Algoritmus.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:33 Di 13.01.2009 | | Autor: | Tu-er |
Liebe Angela,
wäre das dann bei einer Matrix [mm] \pmat{ 2 & 1 & 3 \\ 0 & a & 3 \\ a & 0 & 2} [/mm] ,unabhängig was a ist, auch bijektiv? Wie kann man das begründen?
Grüße
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Hallo Tu-er,
> Liebe Angela,
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> wäre das dann bei einer Matrix [mm]\pmat{ 2 & 1 & 3 \\ 0 & a & 3 \\ a & 0 & 2}[/mm]
> ,unabhängig was a ist, auch bijektiv?
Überlege mal mit Angelas Rangargument von oben, wie es für $a=0$ aussieht ...
> Wie kann man das begründen?
Gar nicht, man kann es nur widerlegen
>
> Grüße
LG
schachuzipus
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