injektiv/surjektiv/bijektiv? < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Sind die folgenden Abbildungen jeweils injektiv/surjektiv/bijektiv? Beweisen Sie Ihre Antwort.
1. [mm] f:\{x\in\IR | x>1 \}\to\{x\in\IR | x>-1 \}, f(x)=\bruch{1}{x-1} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | 2. g: [mm] \IR\backslash\{-2,3 \}\to\IR, g(x)=\bruch{x-1}{(x+2)(x-3)} [/mm] |
Hallo,
sitze gerade an oben beschriebenen Aufgaben, habe zur 1. auch etwas rausbekommen, nur bei der 2. finde ich keinen Ansatz.
Kann mir jemand sagen, ob die 1. so richtig ist?
Antwort:
Die Abbildung ist injektiv, da es keine zwei verschiedenen Urbilder gibt, die auf ein Element der Abbildung abgebildet werden. (sprich: jedes Urbild hat bei dieser Abbildung höchstens ein Element)
Die Abbildung ist jedoch nicht surjektiv, da Elemente der Abbildung existieren, denen kein Urbild zugeordnet werden kann (Beispiel f(x)=-0,5).
Bei 2. wäre es nett, wenn mir jemand einen Denkanstoß geben könnte, da ich nicht weiß wie ich anfangen soll.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> Sind die folgenden Abbildungen jeweils
> injektiv/surjektiv/bijektiv? Beweisen Sie Ihre Antwort.
>
> 1. [mm]f:\{x\in\IR | x>1 \}\to\{x\in\IR | x>-1 \}, f(x)=\bruch{1}{x-1}[/mm]
>
> 2. g: [mm]\IR\backslash\{-2,3 \}\to\IR, g(x)=\bruch{x-1}{(x+2)(x-3)}[/mm]
> Antwort:
>
> Die Abbildung ist injektiv, da es keine zwei verschiedenen
> Urbilder gibt, die auf ein Element der Abbildung abgebildet
> werden. (sprich: jedes Urbild hat bei dieser Abbildung
> höchstens ein Element)
>
> Die Abbildung ist jedoch nicht surjektiv, da Elemente der
> Abbildung existieren, denen kein Urbild zugeordnet werden
> kann (Beispiel f(x)=-0,5).
Deine Aussagen und Erkenntnisse sind prinzipiell richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") . Allerdings reicht es nicht aus, wenn du das so hinschreibst. Du musst das stichhaltig beweisen.
f ist injektiv --> zu zeigen: [mm] $f(x_{1}) [/mm] = [mm] f(x_{2}) \Rightarrow x_{1} [/mm] = [mm] x_{2}$ [/mm] (Diese Definition habt ihr sicher gehabt!)
Also dann mal los:
[mm] $\frac{1}{x_{1}-1} [/mm] = [mm] \frac{1}{x_{2}-1}$
[/mm]
[mm] $\gdw x_{2}-1 [/mm] = [mm] x_{1}-1$
[/mm]
[mm] $\gdw x_{2} [/mm] = [mm] x_{1}$, [/mm] q.e.d., d.h. die Funktion ist injektiv.
Surjektiv:
Zu zeigen: Zu jedem [mm] $y\in\{x\in\IR | x>-1 \}$ [/mm] existiert ein [mm] $x\in\{x\in\IR | x>1 \}$. [/mm] Wähle $y = [mm] -\frac{1}{2}\in\{x\in\IR | x>-1 \}$. [/mm] Wir zeigen: f ist nicht surjektiv. [Start eines Widerspruchsbeweises!] Angenommen, es gäbe ein [mm] $x\in\{x\in\IR | x>1 \}$ [/mm] sodass [mm] $y\in\{x\in\IR | x>-1 \}$, [/mm] wäre
$y = [mm] -\frac{1}{2} [/mm] = [mm] \frac{1}{x-1}$
[/mm]
[mm] $\gdw -\frac{1}{2}*(x-1) [/mm] = 1$
[mm] $\gdw -\frac{1}{2}*x+\frac{1}{2} [/mm] = 1$
[mm] $\gdw -\frac{1}{2}*x=\frac{1}{2}$
[/mm]
[mm] $\gdw x=-1\notin\{x\in\IR | x>1 \}$, [/mm] Widerspruch zur Voraussetzung, also ist f nicht surjektiv.
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> Bei 2. wäre es nett, wenn mir jemand einen Denkanstoß
> geben könnte, da ich nicht weiß wie ich anfangen soll.
Was genau meinst du damit  ?
Die Vermutung für die verschiedenen Eigenschaften holst du dir normalerweise aus dem Graphen. Das die Funktion wahrscheinlich nicht injektiv ist, erkennst du schon daran, dass die Funktion zwei senkrechte Asymptoten hat (Nullstellen des Nenners). Das mit der Surjektivität könnte aber hinhauen.
Probiere die exakten Nachweise nach obigem Schema!
Grüße,
Stefan
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ok, die 1. habe ich dann soweit verstanden :)
bei der 2. wusste ich garnicht wie ich anfangen sollte. Wenn ich es so wie bei der 1. versuche, muss ich ja bei der Injektivität wieder folgendes Beweisen:
f(x1) = f(x2) <=> x1 = x2
d.h.
[mm] \bruch{x_{1}-1}{(x_{1}+2)(x_{1}-3)} [/mm] = [mm] \bruch{x_{2}-1}{(x_{2}+2)(x_{2}-3)}
[/mm]
ich habe schon die ganze Zeit rumgerechnet, komme aber leider nicht auf ein passendes Ergebnis.
mein erster Schritt war zunächst:
[mm] (x_1-1)(x_2+2)(x_2-3) [/mm] = [mm] (x_2-1)(x_1+2)(x_1-3)
[/mm]
dann habe ich versucht durch Auflösen der Klammern weiterzukommen:
[mm] x_1x_2^2-x_1x_2-6x_1-x_2^2+x_2+6 [/mm] = [mm] x_1^2x_2-x_1x_2-6x_2-x_1^2+x_1+6
[/mm]
<=> [mm] x_1x_2^2-6x_1-x_2^2+x_2 [/mm] = [mm] x_1^2x_2-6x_2-x_1^2+x_1
[/mm]
aber dann weiß ich nicht mehr weiter
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Hallo!
> f(x1) = f(x2) <=> x1 = x2
Achtung: Injektiv bedeutet nur f(x1) = f(x2) [mm] \red{=>} [/mm] x1 = x2.
> <=> [mm]x_1x_2^2-6x_1-x_2^2+x_2[/mm] = [mm]x_1^2x_2-6x_2-x_1^2+x_1[/mm]
Das ist doch gut bis hierher. Nun das Ziel vor Augen haben! Wir wollen [mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{2} [/mm] widerlegen, denn wir haben ja die Vermutung, dass die Funktion nicht injektiv ist!
Alles auf die rechte Seite bringen:
$0 = [mm] x_1^2*x_2 [/mm] - [mm] x_1x_2^2 [/mm] + [mm] 6x_1-6x_2-x_1^2+x_2^2 [/mm] + [mm] x_1 [/mm] - [mm] x_2$
[/mm]
Nun überall [mm] (x_{1}-x_{2}) [/mm] ausklammern:
$0 = [mm] x_1*x_2*(x_{1}-x_{2})+ 6*(x_1-x_2) [/mm] - [mm] (x_1^2-x_2^2) [/mm] + [mm] (x_1 [/mm] - [mm] x_2)$
[/mm]
$0 = [mm] x_1*x_2*(x_{1}-x_{2})+ 6*(x_1-x_2) [/mm] - [mm] (x_1-x_2)*(x_{1}+x_{2}) [/mm] + [mm] (x_1 [/mm] - [mm] x_2)$
[/mm]
$0 = [mm] (x_{1}-x_{2})*\Big(x_1*x_2+ [/mm] 6 - [mm] (x_{1}+x_{2}) [/mm] + [mm] 1\Big)$
[/mm]
D.h. entweder ist [mm] $x_{1}=x_{2}$ [/mm] oder es ist [mm] $x_1*x_2+ [/mm] 6 - [mm] (x_{1}+x_{2}) [/mm] + 1 = 0$. Und durch diese zweite Gleichung erhält man eine Beziehung zwischen [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2}, [/mm] die nicht [mm] $x_{1}=x_{2}$ [/mm] ist, d.h. es folgt aus [mm] f(x_{1}) [/mm] = [mm] f(x_{2}) [/mm] bei dieser Funktion nicht zwingend [mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{2}, [/mm] Widerspruch zur Injektivität!
Grüße,
Stefan
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Hallo,
vielen Dank erstmal für die schnelle Hilfe.
habe jetzt gezeigt, dass die Abbildung injektiv ist
am Ende bin ich (für den zweiten Faktor) auf
[mm] x_1 [/mm] = [mm] \bruch{x_2-7}{x_2-1} [/mm] => [mm] x_1 \not= x_2
[/mm]
gekommen.
Wie zeige ich denn jetzt, dass die Abbildung surjektiv ist?
Ich habe zunächst versucht, die Funktion nach x aufzulösen.
y = [mm] \bruch{x-1}{(x+2)(x-3)}
[/mm]
<=> y = [mm] \bruch{x-1}{x^2-x-6}
[/mm]
<=> [mm] y(x^2-x-6) [/mm] = x-1
<=> [mm] yx^2-yx-x-6y+1 [/mm] = 0
jetzt komme ich leider nicht mehr weiter.
Gruß, Marcel
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Hallo Marcel,
> Hallo,
>
> vielen Dank erstmal für die schnelle Hilfe.
>
> habe jetzt gezeigt, dass die Abbildung injektiv ist
....
Dazu sage ich jetzt nichts, außer dass ich den letzten Satz meiner letzten Antwort zitiere: "d.h. es folgt aus [mm] f(x_{1}) [/mm] = [mm] f(x_{2}) [/mm] bei dieser Funktion nicht zwingend [mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{2} [/mm] Widerspruch zur Injektivität!"
Du hast doch mit deiner Rechnung:
> am Ende bin ich (für den zweiten Faktor) auf
>
> [mm]x_1[/mm] = [mm]\bruch{x_2-7}{x_2-1}[/mm] => [mm]x_1 \not= x_2[/mm]
>
> gekommen.
Dass [mm] x_{1}\not= x_{2} [/mm] eintritt, also ist die Funktion nicht injektiv. Denk nochmal drüber nach.
> Wie zeige ich denn jetzt, dass die Abbildung surjektiv
> ist?
>
> Ich habe zunächst versucht, die Funktion nach x
> aufzulösen.
Genau das musst du machen.
> y = [mm]\bruch{x-1}{(x+2)(x-3)}[/mm]
>
> <=> y = [mm]\bruch{x-1}{x^2-x-6}[/mm]
>
> <=> [mm]y(x^2-x-6)[/mm] = x-1
>
> <=> [mm]yx^2-yx-x-6y+1[/mm] = 0
bis hierher.
Nun, das ist eine quadratische Gleichung in x:
[mm] $y*x^2+(-y-1)*x+(1-6y) [/mm] = 0$
Benutze also die quadratischen Lösungsformeln!
Dann musst du nur noch zeigen, dass durch die beiden Definitionslücken des Definitionsbereichs, -2 und 3, keine Probleme entstehen.
Grüße,
Stefan
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Ups, da hab ich das "nicht" vergessen. Habe schon verstanden dass es nicht injektiv ist
Ok, danke für den Hinweis mit der quadratischen Gleichung. Habe jetzt wie folgt weitergemacht:
[mm] yx^2+(-y-1)x+(1-6y) [/mm] = 0
<=> [mm] x^2 [/mm] + [mm] \bruch{-y-1}{y}*x [/mm] + [mm] \bruch{1-6y}{y} [/mm] = 0
[mm] x_1,_2 [/mm] = [mm] \bruch{y+1}{2y}\pm\wurzel{\bruch{(y+1)^2}{4y^2}-\bruch{1-6y}{y}}
[/mm]
= [mm] \bruch{y+1}{2y}\pm\wurzel{\bruch{y^2+2y+1}{4y^2}-\bruch{1-6y}{y}}
[/mm]
= [mm] \bruch{y+1}{2y}\pm\wurzel{\bruch{y^2+2y+1-4y+24y^2}{4y^2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{y+1}{2y}\pm\wurzel{\bruch{25y^2-2y+1}{4y^2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{y+1}{2y}\pm\bruch{\wurzel{25y^2-2y+1}}{2y}
[/mm]
komme jetzt leider auch nicht mehr weiter.
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Hallo!
> Ups, da hab ich das "nicht" vergessen. Habe schon
> verstanden dass es nicht injektiv ist
Gut
> Ok, danke für den Hinweis mit der quadratischen Gleichung.
> Habe jetzt wie folgt weitergemacht:
>
> [mm]yx^2+(-y-1)x+(1-6y)[/mm] = 0
>
> <=> [mm]x^2[/mm] + [mm]\bruch{-y-1}{y}*x[/mm] + [mm]\bruch{1-6y}{y}[/mm] = 0
>
> [mm]x_1,_2[/mm] =
> [mm]\bruch{y+1}{2y}\pm\wurzel{\bruch{(y+1)^2}{4y^2}-\bruch{1-6y}{y}}[/mm]
>
> =
> [mm]\bruch{y+1}{2y}\pm\wurzel{\bruch{y^2+2y+1}{4y^2}-\bruch{1-6y}{y}}[/mm]
>
> =
> [mm]\bruch{y+1}{2y}\pm\wurzel{\bruch{y^2+2y+1-4y+24y^2}{4y^2}}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{y+1}{2y}\pm\wurzel{\bruch{25y^2-2y+1}{4y^2}}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{y+1}{2y}\pm\bruch{\wurzel{25y^2-2y+1}}{2y}[/mm]
Weiter musst du auch nicht kommen. Du hast nun gezeigt, dass sich zu jedem y ein x berechnen lässt, sodass f(x) = y gilt. Zumindest fast. Du musst nur noch einwas zeigen:
- Der Ausdruck unter der Wurzel muss für alle [mm] y\in\IR [/mm] größer als Null sein, d.h. die Wurzel für jedes [mm] y\in\IR [/mm] berechenbar, sonst gibt es nämlich doch y, für welche man kein x findet, sodass f(x) = y. Also, zeige:
[mm] $25y^2-2y+1 [/mm] > 0$
Tipp:
[mm] $\gdw y^2-\frac{2}{25}*y+\frac{1}{25} [/mm] > 0$
[mm] $\gdw \left(y-\frac{1}{25}\right)^{2}-\frac{1}{25^{2}}+\frac{1}{25} [/mm] > 0$
- Deine Gleichung sagt nicht aus, was passiert, wenn y = 0. Triff für diesen Fall eine Aussage mit Hilfe von [mm] $yx^2+(-y-1)x+(1-6y) [/mm] = 0$. Dieses "Problem" entstand übrigens daraus, dass du in der zweiten Zeile deiner Rechnung durch y geteilt hast. Theoretisch betrachtest du ab dieser Stelle nur noch [mm] y\not= [/mm] 0.
Grüße,
Stefan
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Hallo,
habe die Aufgabe jetzt zu Ende gemacht. Hoffe mal, dass es richtig ist
zu zeigen war noch, dass [mm] 25y^2-2y+1 [/mm] > 0 ist, da sonst keine Wurzel gezogen werden konnte und ob es für y=0 einen passenden x-Wert gibt.
[mm] 25y^2-2y+1 [/mm] > 0
[mm] \gdw y^2-\bruch{2}{25}y+\bruch{1}{25} [/mm] > 0
[mm] \gdw (y-\bruch{1}{25})^2 -\bruch{1}{25^2}+\bruch{1}{25} [/mm] > 0
[mm] \gdw (y-\bruch{1}{25})^2 +\bruch{24}{625} [/mm] > 0
[mm] \gdw (y-\bruch{1}{25})^2 [/mm] > [mm] -\bruch{24}{625}
[/mm]
[mm] \to [/mm] In jedem Fall ist [mm] (y-\bruch{1}{25})^2 [/mm] > [mm] -\bruch{24}{625}
[/mm]
Für den Fall, dass y=0 ist:
[mm] yx^2+(-y-1)x+(-6y+1) [/mm] = 0
[mm] \to 0x^2+(0-1)x+(0+1) [/mm] = 0
[mm] \gdw [/mm] -x+1 = 0
[mm] \gdw [/mm] x= 1
Es lässt sich also für jeden y-Wert ein x-Wert ermitteln und die Abbildung ist surjektiv richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:09 Di 20.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig
Gruss leduart
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