injektive lin. Abbildung (Bew) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien V, V' endlichdimensionale Vektorräume über einem Körper [mm] \IK.
[/mm]
Sei f: V [mm] \to [/mm] V' eine lineare Abb..
Zeigen Sie:
f ist injektiv [mm] \gdw [/mm] dim(f(U)) = dim (U) [mm] \forall [/mm] Unterräume U [mm] \subset [/mm] V. |
Hallo zusammen,
Habe Probleme mit diesem Beweis.
Weiß: f injektiv [mm] \gdw [/mm] kern(f)= 0
Frage ist ob mir das hilft...??
Kann mir jemand bei der Bewältigung dieser Aufgabe helfen??
Viele Grüße, der mathedepp_No.1
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:27 Sa 06.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
also du könntest doch mal anfangen, dass du zwei unterschiedliche Richtungen beweisen musst.
> Weiß: f injektiv [mm]\gdw[/mm] kern(f)= 0
ja, also dim(Kern)=0 - was folgt also für die "Hinrichtung" ( => ) aus der Bild-Kern-Formel, wenn du die Abbildung mal auf U einschränkst ?!?
(U selbst ist ja auch ein Vektorraum, also betrachte die lineare Abbildung von U nach V')
für die Rückrichtung würde ich es mit Widerspruch machen:
also angenommen es gäbe einen UVR U', so dass dim(f(U')) nicht gleich dim(U') ist, also gibt es ein k>0 mit : dim(f(U'))+k=dim(U')
wie groß ist dann also der Kern ?!?
was folgt daraus für die Injektivität?
viele Grüße
DaMenge
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hallo DaMenge,
erstmal vielen Dank für deine Hilfe.
> > Weiß: f injektiv [mm]\gdw[/mm] kern(f)= 0
>
> ja, also dim(Kern)=0 - was folgt also für die "Hinrichtung"
> ( => ) aus der Bild-Kern-Formel, wenn du die Abbildung mal
> auf U einschränkst ?!?
> (U selbst ist ja auch ein Vektorraum, also betrachte die
> lineare Abbildung von U nach V')
dann folgt aus der Dimensionsformel: Dass dim U = dim V' und da ja V gerade das Bild von U ist gilt somit: dim U = dim (f(U)).
Stimmts so??
> für die Rückrichtung würde ich es mit Widerspruch machen:
> also angenommen es gäbe einen UVR U', so dass dim(f(U'))
> nicht gleich dim(U') ist, also gibt es ein k>0 mit :
> dim(f(U'))+k=dim(U')
> wie groß ist dann also der Kern ?!?
> was folgt daraus für die Injektivität?
>
Also angenommen f ist niht injektiv dann folgt daraus, dass es ein k>0 mit : dim(f(U))+k=dim(U) für die Abb. von U nach V', und da k>0 gilt dim(f(U)) [mm] \not= [/mm] dim (U). Aber das wäre jetzt Kontrapositions- und nicht Wiederspruchsbeweis oder??
Oder lieg ich ganz daneben mit meinen Ausführungen???
Viele Grüße, der mathedepp_No.1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:29 So 07.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hallo nochmal,
> > (U selbst ist ja auch ein Vektorraum, also betrachte
> die
> > lineare Abbildung von U nach V')
>
> dann folgt aus der Dimensionsformel: Dass dim U = dim V'
nein, die Dimensionsformel lautet hier angewendet:
dim(U)=dim(Bild(U))+dim(Kern(in U))=dim(f(U))+dim(Kern( [mm] $f_{|U}$ [/mm] ))
> und da ja V gerade das Bild von U ist
nein U ist ein UVR von V, wie kann dann V das Bild von U sein?
(selbst wenn du V' meintest ist dies noch falsch, denn niemand sagt, dass f (sogar eingeschränkt auf U) surjektiv sein muss)
> gilt somit: dim U = dim (f(U)).
das ist richtig, aber nur wenn du dir mal die Dimension des Kerns anschaust...
> Also angenommen f ist niht injektiv dann folgt daraus, dass
> es ein k>0 mit : dim(f(U))+k=dim(U) für die Abb. von U nach
> V', und da k>0 gilt dim(f(U)) [mm]\not=[/mm] dim (U).
oha - du hast natürlich recht - da hab ich oben unsinn geschrieben gehabt.
man muss natürlich zeigen:
für alle U gilt dim(f(U))=dim(U) => f injektiv
oder äquivalent:
f nicht injektiv => es gibt ein U' mit dim(f(U'))+k=dim(U') mit k>0
also angenommen f sei nicht injektiv, dann gibt es also einen nicht-trivialen Vektor v im Kern, setze also mal U'=span(v)
wie groß ist dann jeweils dim(U') und dim(f(U')) ?!?
viele Grüße
DaMenge
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Hallo nochmal,
> nein, die Dimensionsformel lautet hier angewendet:
> dim(U)=dim(Bild(U))+dim(Kern(in U))=dim(f(U))+dim(Kern(
> [mm]f_{|U}[/mm] ))
ok, und da der kern von f : V [mm] \to [/mm] V' 0 ist, da f injektiv, gilt somit insbesondere auch für [mm] kernf_{|U} [/mm] = 0 da ja U untervektorraum von V.
Mit der Dimesionsformel kommt man somit auf: dim(U) = dim(f(U))
hab ich' jetzt verstanden??
Viele Grüße, mathedepp_No.1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:17 So 07.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
ja, die Argumentation sieht schon viiieeel besser aus.
viele Grüße
DaMenge
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hallo DaMenge,
alles klar, die Hin-richtung wäre ja somit dann eerledigt.... DANKE
nun zur Rück-richtung:
f nicht injektiv => es gibt ein U' mit dim(f(U'))+k=dim(U') mit k>0
also angenommen f sei nicht injektiv, dann gibt es also mindestens einen nicht-trivialen Vektor v im Kern, setze also mal U'=span(v)
wie groß ist dann jeweils dim(U') und dim(f(U')) ?!?
das bedeutet doch jetzt für die dim [mm] ker(f_{|U})\ge [/mm] 1 oder??
Sei also [mm] dimker(f_{|U}) [/mm] = k mit [mm] k\ge1
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] dim(U)= dim (f(U))+ k [mm] \Rightarrow [/mm] die Behauptung.
Stimmts so??
Viele GRüße, mathedepp_No.1
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Hallo zusammen,
wäre jemand von euch so nett und könnte mir sagen ob ich mit meinen Ausführungen für die Rückrichtung richtig liege???
Wäre super nett.
Möchte ja wirklich keinem auf die nerven gehen....aber ist wirklich super wichtig!!!!
Viele GRüße, mathedepp_No.1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 Mo 08.01.2007 | | Autor: | Nansen |
Hallo mathedepp
Ich hoffe, dass ich jetzt hier nicht kompletten Unsinn schreibe, denn es ist schon spät ;)
Ich denke, es müsste einfacher gehen. Es gilt ja zu zeigen:
dim(f(U)) = dim(U) [mm] \Rightarrow [/mm] f injektiv
Wendet man die Dimensionsformel auf U an, dann folgt ja
dim(U) = dim(Im f) + dim(ker(f)), da aber f(U) Dein Bild ist, gilt:
dim(U) = dim(f(U)) + dim(ker(f)) [mm] \gdw [/mm] dim(ker(f)) = 0 [mm] \gdw [/mm] f inj.
Das erste Äquivalenzzeichen gilt, weil wir ja dim(U) = dim(f(U)) vorgegeben hatten.
Viele Grüße
Nansen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:43 Mo 08.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
der entscheidene Punkt bei deinem Beweis wäre doch noch, dass du U=V wählst, denn dim(f(U))=dim(U) soll ja für alle U gelten...
erst dann kannst du auf kern={0} schließen
(kern von ganz f nicht nur eingeschränkt auf U)
aber ob das wirklich einfacher ist als per Widerspruch und ein solch einfaches U' zu wählen, wie ich oben gezeigt hatte, naja - geschmackssache..
viele Grüße
DaMenge
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Hallo DaMenge,
ich würde den Beweis auch lieber über Kontraposition führen, wie du's mir vorgeschlagen hattest, also:
f nicht injektiv => es gibt ein U' mit dim(f(U'))+k=dim(U') mit k>0
Stimmen denn dann meine Ausführungen hier, oder sind sie falsch bzw. nicht vollständig??
also angenommen f sei nicht injektiv, dann gibt es also mindestens einen nicht-trivialen Vektor v im Kern, setze also mal U'=span(v)
wie groß ist dann jeweils dim(U') und dim(f(U')) ?!?
das bedeutet doch jetzt für die [mm] dimKer(f_{|U'}) \ge [/mm] 1 oder??
Sei also [mm] dimKer(f_{|U'}) [/mm] = k mit [mm] k\ge [/mm] 1
=> dim(U')= dim (f(U'))+ k => die Behauptung.
Wäre nett wenn du dazu Stellung beziehen würdest....
Viele Grüße, , der mathedepp_No.1
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Moin zusammen,
es gilt sogar k=1 in Deiner Argumentation,
denn wenn [mm] v\neq [/mm] 0, [mm] v\in [/mm] V, so ist immer dim(Span(v))=1.
Du kannst auch noch das Argument explizit hinschreiben, daß
[mm] U'\subseteq [/mm] kern(f), also [mm] f(U')=\{0\}, [/mm] somit dim(f(U'))=0.
Gruß,
Mathias
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hallo,
> es gilt sogar k=1 in Deiner Argumentation,
>
> denn wenn [mm]v\neq[/mm] 0, [mm]v\in[/mm] V, so ist immer dim(Span(v))=1.
>
> Du kannst auch noch das Argument explizit hinschreiben,
> daß
>
> [mm]U'\subseteq[/mm] kern(f), also [mm]f(U')=\{0\},[/mm] somit dim(f(U'))=0.
>
Aber woher weiß ich denn dass, dim(f(U'))= 0???
Ich gehe doch in meinem Beweis davon aus, dass f NICHT surjektiv ist, dass heißt doch dass [mm] dim(Ker(f))\not=0 [/mm] ist!!!!
Hä?, verstehe dein Post nicht....
Hoffe jemand meldest sich schnellstmöglich, und kann mich zum Ziel bringen.
Viele liebe Grüße, der mathedepp_No.1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:52 Di 09.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
der Witz ist hier, dass du dich um den Kern bzw dessen Dimension nicht mehr kuemmern musst !!
sei f nicht injektiv und weiterhin:
sei v ein nicht-trivialer Vektor AUS DEM KERN !
setze U'=span(v)
(hier siehst du also schon, welche Dimension U' hat !!!)
wie sieht also das Bild von U' aus ?!!
(und welche Dimension hat es?)
du kannst dim(f(U')) explizit angeben, wie "mathiash" es auch getan hat.
jetzt reicht es nur noch dim(f(U')) und dim(U') zu vergleichen um zu sehen, dass sie nicht gleich sind (mehr will man ja nicht zeigen - in diesem Fall ist k=1)
keine betrachtung des kerns noetig !
das alles hatte ich aber auch schon im post oben geschrieben gehabt (hast du den denn auch wirklich gelesen?!?), deshalb habe ich hier nicht weiter auf deine Fragen reagiert (auch auf die PN nicht)
![[motz]](/images/smileys/motz.gif "[motz]")
> Hoffe jemand meldest sich schnellstmöglich, und kann mich
> zum Ziel bringen.
entsprechendes gilt auch hier - ich hatte eigentlich schon alles geschrieben, weitere Erwartungshaltungen sind imho ueberfluessig und sogar kontra-produktiv !
viele Gruesse
DaMenge
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