injektive lineare Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien V,W endlichdimensionale Vektorräume über einem Körper K. Sei
f: V [mm] \to [/mm] W eine injektive lineare Abbildung und A [mm] \in M_{n,m}(\IK) [/mm] die darstellende Matrix bzgl. beliebiger Basen in V und W. Welche der folgenden Aussagen gilt immer?
a) f ist surjektiv
b) Das lineare Gleichungssystem A*x=b hat eine eindeutige Lösung für alle b [mm] \in \IK^n
[/mm]
c) Das LGS A*x=0 ist eindeutig lösbar. |
Hallo zusammen,
kann mir jemand bei der Bewältigung dieser Aufgabe helfen?
Verstehe nicht wie ich mir die Aussage dass die Matrix A die darstellende Matrix bezgl. BELIEBIGER BASEN IN V UND W sein soll. Bisher war es doch immer so, dass die Darstellungsmatrix einer Abb. bzgl. einer Basis aus dem Urbildraum aufgestellt wurde, oder nicht??
Weiß:
1.injektive lineare Abb. [mm] \gdw [/mm] Spaltenvektoren der Darstellungsmatrix linear unabhängig sind
2. f injektive lineare Abb [mm] \gdw [/mm] Ker(f)={0}
punkt 2 würde doch schon die Aussage (b) ausschließen, oder? Denn wenn das LGS A*x=0 eine eindeutige Lösung hätte, dann wäre der ker(f) [mm] \not= [/mm] {0} und somit wäre die Abb. nicht mehr injektiv.
zu a) falls f auch noch surjektiv [mm] \Rightarrow [/mm] f ist bijektive lineare Abb. (Isomorphismus) [mm] \gdw [/mm] Die Spaltenvektoren der Darstellungsmatrix eine Basis von W bilden.
Da ich aber nicht die oben genannte Aussage nicht ganz verstehe, weiß ich nicht, ob ich mit meinen Gedanken auf dem richtigen Weg bin.
Hoffe jemand kann mir helfen?
Viele liebe Grüße, der mathedepp_No.1
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:17 Fr 29.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> Verstehe nicht wie ich mir die Aussage dass die Matrix A
> die darstellende Matrix bezgl. BELIEBIGER BASEN IN V UND W
> sein soll. Bisher war es doch immer so, dass die
> Darstellungsmatrix einer Abb. bzgl. einer Basis aus dem
> Urbildraum aufgestellt wurde, oder nicht??
>
nein, es musste auch immer eine Basis aus dem Zielraum gewählt werden, damit die darstellungsmatrix eindeutig wird.
> Weiß:
> 1.injektive lineare Abb. [mm]\gdw[/mm] Spaltenvektoren der
> Darstellungsmatrix linear unabhängig sind
>
> 2. f injektive lineare Abb [mm]\gdw[/mm] Ker(f)={0}
soweit richtig ! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> punkt 2 würde doch schon die Aussage (b) ausschließen,
> oder? Denn wenn das LGS A*x=0 eine eindeutige Lösung hätte,
> dann wäre der ker(f) [mm]\not=[/mm] {0} und somit wäre die Abb.
> nicht mehr injektiv.
hüh? jetzt kann ich dir nicht folgen - erstens meinst du wohl aussage c)
zweitens wird A*x=0 IMMER durch den Nullvektor gelöst (also die 0 liegt immer im Kern)
also ist die behauptung der eindeutigkeit äquivalent zu kern={0}
(und damit äquivalent zur injektivität, wie du oben richtig geschrieben hast)
>
> zu a) falls f auch noch surjektiv [mm]\Rightarrow[/mm] f ist
> bijektive lineare Abb. (Isomorphismus) [mm]\gdw[/mm] Die
> Spaltenvektoren der Darstellungsmatrix eine Basis von W
> bilden.
das ist richtig, aber was passiert, wenn W größer ist als V (also n>m ) ?
folgt dann aus injektivität schon surjektivität?
noch ein hinweis zur b) : da steht insbesondere auch, dass jedes b aus W getroffen werden muss (also surjektivität)....
viele Grüße
DaMenge
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Hi,
> zweitens wird A*x=0 IMMER durch den Nullvektor gelöst
> (also die 0 liegt immer im Kern)
> also ist die behauptung der eindeutigkeit äquivalent zu
> kern={0}
> (und damit äquivalent zur injektivität, wie du oben
> richtig geschrieben hast)
Ja stimmt ja (kleiner Denkfehler ) , also ist die Aussage aus (c) ja auf jeden Fall richtig, oder?
> das ist richtig, aber was passiert, wenn W größer ist als V
> (also n>m ) ?
> folgt dann aus injektivität schon surjektivität?
Das habe ich nocht nicht so ganz verstanden, warum Aussage (a) falsch ist.
> noch ein hinweis zur b) : da steht insbesondere auch, dass
> jedes b aus W getroffen werden muss (also
> surjektivität)....
Ok habe ich verstanden: wenn jedes b getroffen werden muss, dann müsste die Abb. surjektiv sein, da sie aber laut Vorraussetzung nur injektiv ist ist die Aussage (b) auch falsch
viele Grüße, mathedepp_No.1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:48 Fr 29.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> Ja stimmt ja (kleiner Denkfehler) , also ist die Aussage
> aus (c) ja auf jeden Fall richtig, oder?
ja, c) ist richtig
> > das ist richtig, aber was passiert, wenn W größer ist als V
> > (also n>m ) ?
> > folgt dann aus injektivität schon surjektivität?
>
> Das habe ich nocht nicht so ganz verstanden, warum Aussage
> (a) falsch ist.
überleg dir doch mal, wie groß das Bild nach der Dimensionsformel höchstens sein kann (der kern ist wg. injektivität ja 0-dimensional).
Was passiert, wenn W größer ist als V ?!?
(ein Gegenbeispiel reicht aus um die aussage zu Widerlegen)
> Ok habe ich verstanden: wenn jedes b getroffen werden muss,
> dann müsste die Abb. surjektiv sein, da sie aber laut
> Vorraussetzung nur injektiv ist ist die Aussage (b) auch
> falsch
wenn du in a) gezeigt hast, dass hier aus injektivität NICHT surjektivität folgt, dann kannst du so argumentieren, ja.
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:58 Sa 06.01.2007 | | Autor: | SpoOny |
> ja, c) ist richtig
Ax=0 ist doch aber nicht eindeutig wenn ich mehr Zeilen als Variablen habe oder Also bei ner [mm] M_{nm} [/mm] wenn m<n
Gruß
SpoOny
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 Sa 06.01.2007 | | Autor: | Blueman |
> > ja, c) ist richtig
>
> Ax=0 ist doch aber nicht eindeutig wenn ich mehr Zeilen als
> Variablen habe oder Also bei ner [mm]M_{nm}[/mm] wenn m<n
>
> Gruß
> SpoOny
Dann ist die Abbildung auch nicht mehr injektiv (war ja Vorraussetzung), eben weil mehrere Vektoren auf den Nullvektor abgebildet werden und somit nicht mehr gilt:
f(a) = f(b) => a = b.
Blueman
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