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| Aufgabe | | [mm] S\not=\emptyset [/mm] unf $ f:S [mm] \to [/mm] T $. Beweisen Sie, dass wenn f injektiv ist eine Umkehrfunktion $ g:T [mm] \to [/mm] S $ exisitiert, so dass $ g [mm] \circ [/mm] f = [mm] id_s [/mm] $ |
hi,
Also wir haben injektivitaet, surjektivitaet, umkehrfunktionen, verkettete funktionen definiert. ausserdem haben wir bewiesen, dass wenn eine funktion surjektiv ist gilt $ f [mm] \circ [/mm] g = [mm] id_t [/mm] $. Mein beweis habe ich nun versucht aehnlich aufzubauen, wie den in der vorlesung. mir kommt es nur so vor, als ob man sich einfach aus der schwierigkeit des beweisens herausdefiniert, was mir immer etwas sorge bereitet, da ich nicht weiss, wann ich das darf und wann nicht.
also wenn f injektiv ist, dann gilt $ [mm] f(s_1)=f(s_2) \gdw s_1=s_2 [/mm] .
Also [mm] f(s_t)=t. [/mm] Nehmen wir nun eine umkehrfunktion $ g: T [mm] \to [/mm] S $ mit [mm] g(t)=s_t [/mm] , dann gilt [mm] g(f(s_t))=s_t=id_s [/mm] womit gezeigt waere, dass eine solche zusammensetzung dann moeglich ist.
Umgekehrt ist noch zu zeigen, dass f injektiv ist, wenn die verkettete funktion $ g [mm] \circ [/mm] f = [mm] id_s [/mm] $ .
Das bedeutet ja nichts anderes als, dass fuer eine Umklehrfunktion g mit g(t)=s gilt [mm] g(f(s_t))=s_t, [/mm] daraus kann man schliessen, dass jedes s genau auf sich selbst zurueckgefuehrt werden kann. Also, [mm] f(s_1)=f(s_2)! [/mm] dies bedeutet, dass f injektiv sein muss.
Ginge das so ?
Lg,
exeqter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 Sa 28.11.2009 | | Autor: | pelzig |
> Also wir haben injektivitaet, surjektivitaet,
> umkehrfunktionen, verkettete funktionen definiert.
> ausserdem haben wir bewiesen, dass wenn eine funktion
> surjektiv ist gilt [mm]f \circ g = id_t [/mm]. Mein beweis habe ich
> nun versucht aehnlich aufzubauen, wie den in der vorlesung.
> mir kommt es nur so vor, als ob man sich einfach aus der
> schwierigkeit des beweisens herausdefiniert, was mir immer
> etwas sorge bereitet, da ich nicht weiss, wann ich das darf
> und wann nicht.
Ich denke dann hast du die Beweise noch nicht richtig verstanden.
> also wenn f injektiv ist, dann gilt $ [mm]f(s_1)=f(s_2) \gdw s_1=s_2[/mm]
Genau.
> Also [mm]f(s_t)=t.[/mm] Nehmen wir nun eine umkehrfunktion [mm]g: T \to S[/mm]
> mit [mm]g(t)=s_t[/mm] , dann gilt [mm]g(f(s_t))=s_t=id_s[/mm] womit gezeigt
> waere, dass eine solche zusammensetzung dann moeglich ist. Ginge das so ?
Du hast gar nix gezeigt. Voraussetzung ist: f ist injektiv. Was du tun sollst ist eine Funktion
[mm] $g:T\to [/mm] S$ zu konstruieren, die die Eigenschaft [mm] $g\circ f=\operatorname{id}_S$ [/mm] hat, d.h. du musst erklären, was g(t) sein soll, wenn t irgendein beliebiges Element aus T ist.
Gruß, Robert
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hey,
gut also: Aufgrund der injektivitaet von f wird ja jedem s ein einziges t zugewiesen, d.h. kein s kaunf auf zwei verschiedenen t's abgebildet werden. also:
[mm] f(s_t)=t_t [/mm] fuer $ t [mm] \in [/mm] T $ D.h. ich kann jetzt im umkehrshluss definieren, dass es eine funktion geben soll fuer die [mm] g(t_t):=s_t [/mm] . Diese funktion gibt es fuer jedes t, dass durch f einem [mm] s_t [/mm] zugeordnet wurde. Also [mm] g(f(s_t))=s_t.
[/mm]
Ginge es so ?
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 Sa 28.11.2009 | | Autor: | pelzig |
> hey,
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> gut also: Aufgrund der injektivitaet von f wird ja jedem s
> ein einziges t zugewiesen, d.h. kein s kaunf auf zwei
> verschiedenen t's abgebildet werden. also:
Nein! Was du oben geschrieben hast ist einfach Teil der Definition von "Funktion". Injektivität ist was ganz anderes (das du aber schonmal richtig hingeschrieben hast, deshalb geh ich davon aus, dass es sich nur um einen "Tippfehler" handelt).
> [mm]f(s_t)=t_t[/mm] fuer [mm]t \in T[/mm] D.h. ich kann jetzt im umkehrshluss
> definieren, dass es eine funktion geben soll fuer die
> [mm]g(t_t):=s_t[/mm] . Diese funktion gibt es fuer jedes t, dass
> durch f einem [mm]s_t[/mm] zugeordnet wurde. Also [mm]g(f(s_t))=s_t.[/mm]
Du meinst schon das richtige. Ich würde das aber anders aufschreiben: g(t):=s,falls $f(s)=t$ ist. Jetzt gibt es aber zwei Probleme:
1) Was ist wenn t überhaupt nicht im Bild von $f$ liegt, also wenn [mm] $f(s)\ne [/mm] t$ für alle [mm] $s\in [/mm] S$?
2) Warum ist diese Definition wohl-definiert? Also angenommen f(s)=t=f(s'), warum ist dann s=s'?
Gruß, Robert
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