innere/äußere direkte Summe < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei V ein K-Vektorraum und U, W Untervektorräume von V, so dass [mm]V = U \oplus W[/mm] gilt, d.h. V sei eine innere direkte Summe von U und W.
Zeigen Sie: Dann ist V zusammen mit den Inklusionen:
[mm]i_u: U \rightarrow V[/mm]
[mm]i_w: W \rightarrow V[/mm]
isomorph zur äußeren direkten Summe von U und W. |
Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite gestellt.
N'Abend,
ich versuch mich gerade an der obrigen Aufgabe.
Ich muss hierbei zeigen das [mm]U \oplus W={(u,w)|u \in U, w\in W}[/mm] isomorph also bijektiv zu [mm]U= U\oplus W[/mm] ist.
Also muss ich doch zeigen, das die innere direkte Summe gleich ist mit der äußeren direnkten Summe, den dann ist es bijektiv, oder irre ich mich?
Grüße,
Mareike
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:52 Mi 02.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Mareike!
> Sei V ein K-Vektorraum und U, W Untervektorräume von V, so
> dass [mm]V = U \oplus W[/mm] gilt, d.h. V sei eine innere direkte Summe von U und W.
> Zeigen Sie: Dann ist V zusammen mit den Inklusionen:
> [mm]i_u: U \rightarrow V[/mm]
> [mm]i_w: W \rightarrow V[/mm]
> isomorph zur äußeren direkten Summe von U und W.
> Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite gestellt.
>
> N'Abend,
> ich versuch mich gerade an der obrigen Aufgabe.
> Ich muss hierbei zeigen das [mm]U \oplus W=\{(u,w)|u \in U, w\in W\}[/mm] isomorph also bijektiv zu [mm]V= U\oplus W[/mm] ist.
> Also muss ich doch zeigen, das die innere direkte Summe gleich ist mit der äußeren direnkten Summe, den dann ist es bijektiv, oder irre ich mich?
Nicht gleich, sondern isomorph. Hinter dieser Aufgabe steckt nicht viel, es geht eher darum, den Formalismus zu üben.
Da V die innere direkte Summe von U und W ist, lässt sich jedes [mm] $v\in [/mm] V$ eindeutig als Summe
[mm] v = u+w[/mm], [mm]u\in U[/mm], [mm]w\in W[/mm] schreiben,
Jedes Element der äußeren direkten Summe von U und W hat die Form $(u,w)$.
Du musst den Isomorphismus zwischen diesen beiden abstrakten Objekten angeben.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
Hi,
erstmal danke, naja das mit dem aufschreiben will bei mir leider nicht immer so klappen: Ich hab jetzt mal so angefangen:
Für die Rechnung brauchich noch
[mm]u\in U[/mm] von der Form ([mm](u_1, u_2)[/mm]
[mm]w \in W[/mm] von der Form [mm](w_1, w_2)[/mm]
Von den beiden berechne ich jetzt die innere direkte Summe:
[mm](u_1, u_2) + (w_1, w_2) = (u+w, u+w)[/mm]
Ähm irgendwas stimmt da nicht?
Ich hab glaub ich nicht die richtige Rechenvorschrift.
Grüße,
Mareike
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:02 Do 03.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Mareike!
> Hi,
> erstmal danke, naja das mit dem aufschreiben will bei mir
> leider nicht immer so klappen: Ich hab jetzt mal so
> angefangen:
> Für die Rechnung brauchich noch
> [mm]u\in U[/mm] von der Form ([mm](u_1, u_2)[/mm]
> [mm]w \in W[/mm] von der Form
> [mm](w_1, w_2)[/mm]
> Von den beiden berechne ich jetzt die innere
> direkte Summe:
> [mm](u_1, u_2) + (w_1, w_2) = (u+w, u+w)[/mm]
> Ähm irgendwas stimmt
> da nicht?
> Ich hab glaub ich nicht die richtige Rechenvorschrift.
Ich glaube, du siehst den Wald vor lauter Bäumen nicht. 
Nimm als Beispiel [mm] $V=\IR^2 [/mm] = [mm] \IR\oplus\IR$.
[/mm]
Jedes [mm] $v\in V=\IR^2$ [/mm] kann ich als $v = [mm] \vektor{x\\y}$ [/mm] schreiben. Mit den Unterräumen
[mm] U = \left\{ \vektor{x\\0} \Biggm\vert x\in\IR\right\} [/mm] und [mm] W = \left\{ \vektor{0\\y} \Biggm\vert y\in\IR\right\} [/mm]
ist V die direkte innere Summe von U und W, denn jedes $v = [mm] \vektor{x\\y}$ [/mm] lässt sich eindeutig als Summe [mm] $\vektor{x\\0}+\vektor{0\\y} [/mm] $ schreiben.
Die direkte äußere Summe von U und W ist die Menge aller Paare
[mm] \mathcal{V} =\left\{ \left(u,w\right)\Biggm \vert u\in U, w \in W \right\} = \left\{ \left(\vektor{x\\0},\vektor{0\\y}\right) \Biggm\vert \vektor{x\\0}\in U,\vektor{0\\y}\in W\right\} [/mm]
Jetzt musst du einen Isomorphismus zwischen V und [mm] $\mathcal{V}$ [/mm] angeben.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
Hi,
also such ich jetzt einen Isomporphismus von der inneren direkten Summe V und der äußeren direkten Summe $ [mm] \mathcal{V} [/mm] $.
Also eine bijektive Abbildung.
U und W sind Unterräume von V sind und $ [mm] \mathcal{V} [/mm] $ besteht aus den Unterräumen. $ [mm] \mathcal{V} \rightarrow [/mm] V $
[mm] $(i_U, i_w) \rightarrow [/mm] V$
Ich weiss irgendwie nicht wie ich da eine Funktion bekommen, bzw. was ich mit den Inklusionen machen soll.
Die Inklusionen sagen ja nichts weiter, als das es eine Abbildung von jeweils den Untervektorräumen zum Vektorraum V gibt.
Grüße,
Mareike
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Do 03.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Mareike!
> also such ich jetzt einen Isomporphismus von der inneren
> direkten Summe V und der äußeren direkten Summe [mm]\mathcal{V} [/mm].
>
> Also eine bijektive Abbildung.
> U und W sind Unterräume von V sind und [mm]\mathcal{V}[/mm] besteht
> aus den Unterräumen. [mm]\mathcal{V} \rightarrow V[/mm]
> [mm](i_U, i_w) \rightarrow V[/mm]
>
> Ich weiss irgendwie nicht wie ich da eine Funktion
> bekommen, bzw. was ich mit den Inklusionen machen soll.
> Die Inklusionen sagen ja nichts weiter, als das es eine
> Abbildung von jeweils den Untervektorräumen zum Vektorraum
> V gibt.
Richtig. Es steckt wirklich nicht mehr dahinter. Einmal betrachtest du U und W als eigene Objekte:
[mm]\mathcal{V} = U\times W = \{(u,w)\mid u\in U, w\in W\} [/mm],
zum anderen als Untervektorräume von V:
[mm] V = U\oplus W [/mm].
Die Inklusionen stellen die Beziehung her:
[mm] i: U\times W \rightarrow V, \quad (u,w) \mapsto i_U(u) + i_W(w) [/mm]
ist der gewünschte Vektorraumisomorphismus (wobei das + hier die Addition im Vektorraum V bedeutet).
Die Umkehrung kannst du sicher selbst hinschreiben, indem du die Projektionen von V auf die Unterräume U und W benutzt.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:16 So 06.04.2008 | | Autor: | lenz |
mir ist irgendwie nicht klar wozu die inklusionen
notwendig sind.V ist doch die innere summe von U und V(V sollte auch so isomorph zur äüßeren summe sein,oder nicht?)
kann mir vielleicht jemand helfen?
gruß lenz
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:20 Mo 07.04.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
