innere semi-direkte produkt < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:25 Mi 18.11.2009 | | Autor: | nueppi |
| Aufgabe | | zeigen sie,für p<q Primzahlen gibt es bis auf Isomorphie nur zwei Gruppen der Ordnung p*q. Dabei darf ohne Beweis verwendet werden, dass es genau eine nichttriviale Operation von [mm] \IZ\setminus [/mm] p [mm] \IZ [/mm] auf [mm] \IZ\setminus [/mm] q [mm] \IZ [/mm] . |
als tipp ist angegeben: satz über das innere semi-direkte produkt.
halloo zusammen,
ich hab leider gar keine ahnung wie ich daran gehen soll. wäre also schön wenn mir jemand einen kleinen tipp geben könnte :)
ausserdem versteh ich nicht ganz was das innere semi-direkte produkt macht.
liebe grüße und danke für die hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo
> zeigen sie,für p<q Primzahlen gibt es bis auf Isomorphie
> nur zwei Gruppen der Ordnung p*q. Dabei darf ohne Beweis
> verwendet werden, dass es genau eine nichttriviale
> Operation von [mm]\IZ\setminus[/mm] p [mm]\IZ[/mm] auf [mm]\IZ\setminus[/mm] q [mm]\IZ[/mm] .
> als tipp ist angegeben: satz über das innere semi-direkte
> produkt.
>
> halloo zusammen,
>
> ich hab leider gar keine ahnung wie ich daran gehen soll.
> wäre also schön wenn mir jemand einen kleinen tipp geben
> könnte :)
> ausserdem versteh ich nicht ganz was das innere
> semi-direkte produkt macht.
>
> liebe grüße und danke für die hilfe.
Nun, zuerst mal musst du wissen, was das Semidirekte Produkt ist:
Guggst du ![[]](/images/popup.gif) hier
Nun, wofür du jetzt die Tatsache brauchst, dass es nur eine nichttriviale Operation gibt ist, um dieses theta zu definieren.
Kommst du jetzt vielleicht weiter? :)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Grüsse, Amaro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Do 19.11.2009 | | Autor: | nueppi |
ne irgendwie gar nicht :(
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Nun
Du hast zwei Gruppen H und K gegeben mit |H| = q und |K| = p. Dann hast du noch eine Gruppe G mit |G| = pq.
Mit dem Satz von diesem semi-direkten Produkt hast du:
G [mm] \cong [/mm] H [mm] \rtimes [/mm] K
Nun brauchst du die Definition von deinem Produkt. Da kommt so ein Theta vor.. dies ist ein Homomorphismus von H nach Aut(K).
Noch mit dem Tipp, dass es nur eine nichttriviale solche Abbildung gibt, hast du nun 2 Möglichkeiten....
1) [mm] \theta [/mm] = id [mm] \Rightarrow [/mm] dann hast du das direkte Produkt und G [mm] \cong [/mm] H [mm] \times [/mm] K
2) [mm] \theta \not= [/mm] id [mm] \Rightarrow [/mm] dann hast du das semi-direkte Produkt und G [mm] \cong [/mm] H [mm] \rtimes [/mm] K
Weitere Möglichkeiten gibt es nicht, da es ja für [mm] \theta [/mm] keine weiteren Möglichkeiten gibt.. somit sind das die einzigen Gruppen von Ordnung pq und sind Isomorph zueinander...
Vielleicht müsstest du alles ein bisschen genauer hinschreiben und dich fragen, warum und so weiter.. aber meine Antwort soll ja nur eine Richtlinie sein.. vielleicht kannst du was damit anfangen!
Grüsse, Amaro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Do 19.11.2009 | | Autor: | Hans7er |
Hi amaro,
bin neu hier und arbeite gerade an selbiger Aufgabe...
auf Deine Ausführung war ich auch bereits gekommen, allerdings beinhaltet der Satz über das Semidirekte Produkt einige Voraussetzungen, mit denen ich nicht direkt klarkomme...
es soll gelten:
[mm] 1)G_1 \subset [/mm] G Normalteiler
[mm] 2)G_1*G_2 [/mm] = G
3)...
zu 1) kann man über sylow argumentieren, dass die ordnung (s) von [mm] G_1=p [/mm] bzw. q ist und dass somit s|q bzw. p und [mm] s\equiv1 [/mm] (p) bzw. (q) sein muss.
Jetzt müsste man eigentlich folgern können, dass s=1 und somit ist [mm] G_1 [/mm] Normalteiler (so kenne ich das zumindest) allerdings komme ich nciht darauf wie ich argumentieren soll.
zu 2)ich weiß, dass [mm] G_1 \times G_2 \cong [/mm] G, aber heißt das auch das [mm] G_1*G_2=G [/mm] ist?
Stelle mir hierbei immer die Gruppen der Form [mm] \IZ \setminus p\IZ [/mm] oder auch [mm] \IZ \setminus q\IZ [/mm] vor, komme damit aber nicht zum Ziel.
Wäre sehr dankbar, falls mir jemand meine Denkfehler aufzeigen kann.
Beste Grüße
Hans7er
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Hallo!> Hi amaro,
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> bin neu hier und arbeite gerade an selbiger Aufgabe...
>
> auf Deine Ausführung war ich auch bereits gekommen,
> allerdings beinhaltet der Satz über das Semidirekte
> Produkt einige Voraussetzungen, mit denen ich nicht direkt
> klarkomme...
Genau.. das ist eigentlich, was ich offen gelassen hatte.. Ich wollte nur die Richtung anzeigen :)
>
> es soll gelten:
>
> [mm]1)G_1 \subset[/mm] G Normalteiler
> [mm]2)G_1*G_2[/mm] = G
> 3)...
>
> zu 1) kann man über sylow argumentieren, dass die ordnung
> (s) von [mm]G_1=p[/mm] bzw. q ist und dass somit s|q bzw. p und
> [mm]s\equiv1[/mm] (p) bzw. (q) sein muss.
> Jetzt müsste man eigentlich folgern können, dass s=1 und
> somit ist [mm]G_1[/mm] Normalteiler (so kenne ich das zumindest)
> allerdings komme ich nciht darauf wie ich argumentieren
> soll.
Nun, du musst hier brauchen, dass q und p Primzahlen sind.. Gibt es dann eine Zahl ausser die 1, so dass [mm] s\equiv1 [/mm] mod p oder q gilt? Hiermit solltest du weiterkommen.
>
> zu 2)ich weiß, dass [mm]G_1 \times G_2 \cong[/mm] G, aber heißt
> das auch das [mm]G_1*G_2=G[/mm] ist?
> Stelle mir hierbei immer die Gruppen der Form [mm]\IZ \setminus p\IZ[/mm]
> oder auch [mm]\IZ \setminus q\IZ[/mm] vor, komme damit aber nicht
> zum Ziel.
Es reicht zu zeigen, dass [mm] G_{1} \cap G_{2} [/mm] = [mm] \{e\}. [/mm] Und warum gilt das? Einfach mit Lagrange argumentieren und der Ordnung der Elemente der einzelnen Gruppen! (Primzahlen und so.. ) :)
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> Wäre sehr dankbar, falls mir jemand meine Denkfehler
> aufzeigen kann.
>
> Beste Grüße
>
> Hans7er
Ich hoffe, das hilft dir!
Grüsse, Amaro
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