innerer punkt und häufungspunk < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:07 Mi 28.06.2006 | | Autor: | sonisun |
| Aufgabe | gesucht sind alle inneren Punkte, alle isolierten Punkte und alle Häufungspunkte folgender Teilmengen:
a) [mm] \left\{\bruch{1}{2^{n}}:n\in\IN\right\}\cup[-1,0]\subset\IR
[/mm]
b) [mm] \left\{\bruch{1}{n}+iy:n\in\IN,y\in[0,1]\right\}\subset\IC
[/mm]
sind die Teilmengen offen, abgeschlossen oder kompakt? |
hallo, ich komm damit net so wirklich zurecht. könnt ihr mir auf die sprünge helfen?
zu a) es gibt keine häufungspunkte, innere punkte sind ]-1,0[, isolierten punkte sind [mm] \bruch{1}{2^{n}} [/mm] - stimmt das so?
da 0 kein inner punkt ist aber 0 in der TEilmenge ist, ist die Teilmenge nicht offen. --> es gibt keine häufungsounkte, also liegen alle häufungspunkte von der Teilmenge in der Teilmenge, --> die Teilmenge ist abgeschlosen
da die Teilmenge beschränkt ist mit -1 und 0,5, ist die Teilmenge kompakt
--> kann das jemand kommentieren? was hätte ich anders machen müssen?
zu b) hier komm ich net weiter. Tipps?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:00 Mi 28.06.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
> zu a) es gibt keine häufungspunkte, innere punkte sind ]-1,0[, isolierten punkte sind $ [mm] \bruch{1}{2^{n}} [/mm] $ - stimmt das so?
Richtig sind die inneren und die isolierten Punkte ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , die Häufungspunkte stimmen leider nicht ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Zu den Häufungspunkten: [mm] $x\in \IR$ [/mm] ist genau dann Häufungspunkt von [mm] $A\subset \IR$ [/mm] genau dann, wenn jede Umgebung von $x$ einen von $x$ verschiedenen Punkt aus $A$ enthält; oder, äquivalent dazu: wenn jede Umgebung von $x$ unendlich viele Punkte aus $A$ enthält.
Da jede Umgebung eines Punktes in [mm] $\IR$ [/mm] bereits (überabzählbar) unendlich viele Punkte enthält, ist jeder innere Punkt von $A$ auch Häufgspunkt. Dass die [mm] $\frac{1}{2^n}, n\in \IN$ [/mm] keine Häufungspunkte sind, ist richtig - schließlich kann stets eine Umgebung gewählt werden, die kein weiteres Element aus $A$ trifft. Wie steht es aber mit den Punkten $-1$ und $0$? Wie schaut das aus, wenn [mm] $A:=\{0\}\cup\{1/2^n | n\in \IN\}$ [/mm] gilt?
Im [mm] $\IR$ [/mm] sind die isolierten Punkte einer Teilmenge genau die Punkte, die keine Häufungspunkte sind. Das sind in diesem Fall genau die [mm] $1/2^n, n\in \IN$, [/mm] wie du bereits richtig sagtest.
> da 0 kein inner punkt ist aber 0 in der TEilmenge ist, ist die Teilmenge nicht offen.
Ja, so kann man argumentieren.
> --> es gibt keine häufungsounkte, also liegen alle häufungspunkte von der Teilmenge in der Teilmenge,
Vielleicht meintest du oben, dass alle Häufungspunkte von $A$ zu $A$ selbst gehören. Dann stimmt das . Allerdings musst du schon wissen, wie nun die Häufungspunkte definiert sind und darfst den Begriff nicht 1x auf die Elemente aus $A$ und einmal auf die aus [mm] $\IR\setminus [/mm] A$ beziehen, wie du es oben tust.
> --> die Teilmenge ist abgeschlosen
Ja, dieser Schluss ist dann richtig. D.h., wenn jeder Häufungspunkt von $A$ in $A$ liegt, ist $A$ abgeschlossen.
> da die Teilmenge beschränkt ist mit -1 und 0,5, ist die Teilmenge kompakt
Auch richtig
> zu b) hier komm ich net weiter. Tipps?
Hast du dir mal überlegt, wie die Menge aussieht? Du hast in der gaußschen Zahlenebene unendlich viele vertikale Balken der Höhe 1 und an den Realwerten [mm] $\frac{1}{n}$. [/mm] Sie häufen sich am Balken [mm] $\{iy|y\in [0,1]\}$.
[/mm]
Hilft dir das?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:34 Mi 28.06.2006 | | Autor: | sonisun |
| Aufgabe | | okay, tu mir immer noch schwer bei der b) ich würde sagen, dass alle Punkte [mm] \bruch{1}{n}+iy [/mm] isolierte Punkte sind und gleichzeitig Häufungspunkte sind. innere Punkte gibt es nicht. die Menge ist Abgeschlossen, aber nicht kompakt. |
stimmt das so?
für die c)
[mm] {\bruch{x-1}{x}:x\in]1,\infty[}
[/mm]
habe ich folgendes:
- innere Punkte: ]0,1[
-isolierte Punkte: keine
-Häufungspunkte: ]0,1[
-Die Teilmenge C ist kompakt
stimmt das einigermaßen? bin ja schon froh,d ass die a) einigermaßen gestimmt hat, es gibt doch noch Hoffnung!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Fr 30.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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