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| Aufgabe | Mit (X,d) einem metrischem Raum sei A [mm] \subset [/mm] X . Zeige, dass
clos(clos(A))=clos(A) und inn(inn(A))=inn(A)
wobei inn(A) = das Innere von A sowie clos(A) = der Abschluss von A |
B(x, [mm] \delta) [/mm] bezeichnet den offenen Ball um x mit Radius [mm] \delta
[/mm]
zu 1:
Dass clos(A) [mm] \subset [/mm] clos(clos(A)) habe ich schon gezeigt. Bei der anderen Richtung komme ich aber nicht weiter:
x [mm] \in [/mm] clos(clos(A)) [mm] \Rightarrow [/mm] x Häufungspunkt von clos(A)
[mm] \Rightarrow \forall \delta [/mm] > 0 : [mm] B(x,\delta) \cap [/mm] clos(A) [mm] \not= \emptyset
[/mm]
Nun komme ich hier nicht mehr weiter. Wie muss ich nun das [mm] \delta_2 [/mm] wählen, um dann zu zeigen, dass ein Ball [mm] B(x,\delta_2) [/mm] immer auch in A liegt, sprich, dass x ein Häuf.pkt. von A ist?
zu 2:
inn(inn(A)) [mm] \subset [/mm] inn(A) habe ich hier schon. Aber:
x [mm] \in [/mm] inn(A) [mm] \Rightarrow [/mm] x inn. Punkt von A [mm] \Rightarrow [/mm]
[mm] \exists \delta [/mm] >0 : B(x, [mm] \delta) \subset [/mm] A ....
und nun ???
Wie geht das weiter?
Grüsse
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:30 Mo 24.09.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo pablovschby,
> Mit (X,d) einem metrischem Raum sei A [mm]\subset[/mm] X . Zeige,
> dass
>
> clos(clos(A))=clos(A) und inn(inn(A))=inn(A)
>
> wobei inn(A) = das Innere von A sowie clos(A) = der
> Abschluss von A
> B(x, [mm]\delta)[/mm] bezeichnet den offenen Ball um x mit Radius
> [mm]\delta[/mm]
>
> zu 1:
>
> Dass clos(A) [mm]\subset[/mm] clos(clos(A)) habe ich schon gezeigt.
> Bei der anderen Richtung komme ich aber nicht weiter:
>
> x [mm]\in[/mm] clos(clos(A)) [mm]\Rightarrow[/mm] x Häufungspunkt von
> clos(A)
> [mm]\Rightarrow \forall \delta[/mm] > 0 : [mm]B(x,\delta) \cap[/mm] clos(A)
> [mm]\not= \emptyset[/mm]
>
> Nun komme ich hier nicht mehr weiter. Wie muss ich nun das
> [mm]\delta_2[/mm] wählen, um dann zu zeigen, dass ein Ball
> [mm]B(x,\delta_2)[/mm] immer auch in A liegt, sprich, dass x ein
> Häuf.pkt. von A ist?
Um dies zu zeigen, darfst Du [mm] $\delta_2$ [/mm] nicht "wählen", denn dann hättest Du ja nur für das gewählte [mm] $\delta_2$ [/mm] gezeigt, daß [mm] $B(x,\delta_2)\cap [/mm] A [mm] \ne \emptyset$ [/mm] ist. Dies ist aber für alle [mm] $\delta_2>0$ [/mm] zu zeigen.
Sei also [mm] $\delta_2>0$ [/mm] und $x$ ein Häufungspunkt von $clos(A)$. Für [mm] $\delta=\delta_2/2$ [/mm] ist also [mm] $B(x,\delta)\cap clos(A)\ne \emptyset$ [/mm] und es gibt ein [mm] $y\in B(x,\delta)\cap [/mm] clos(A)$.
Wegen [mm] $y\in [/mm] clos (A)$ gibt es ein [mm] $z\in B(y,\delta)\cap [/mm] A$. Nun ist
[mm] $\qquad|z-x|\le [/mm] |z-y|+|y-x| < [mm] 2\delta=\delta_2$.
[/mm]
Hieraus folgt [mm] $z\in [/mm] B(x, [mm] \delta_2)\cap [/mm] A$.
Damit erweist sich $x$ als Häufungspunkt von $A$.
>
>
> zu 2:
> inn(inn(A)) [mm]\subset[/mm] inn(A) habe ich hier schon. Aber:
>
> x [mm]\in[/mm] inn(A) [mm]\Rightarrow[/mm] x inn. Punkt von A [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]\exists \delta[/mm] >0 : B(x, [mm]\delta) \subset[/mm] A ....
>
> und nun ???
>
> Wie geht das weiter?
Dies hängt davon ab, wie bei Euch das Innere einer Menge definiert ist.
Gruß,
Wolfgang
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Das steht doch da: Inneres einer Menge = {x : x innerer Punkt}
x innerer Punkt [mm] \gdw \exists \delta>0:B(x,\delta) \subset [/mm] A
Nehme ich hier dann einfach [mm] \delta_1=\bruch{\delta}{2} [/mm] und dann ist
[mm] B(x,\delta_1) \subset [/mm] inn(A) ?
Ist das alles?
Grüsse
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:42 Mo 24.09.2012 | | Autor: | Helbig |
> Das steht doch da: Inneres einer Menge = {x : x innerer
> Punkt}
> x innerer Punkt [mm]\gdw \exists \delta>0:B(x,\delta) \subset[/mm]
> A
Na ja, das stand nicht da. Da stand nur eine Folgerung aus " $x$ ist innerer Punkt von $A$ ". Wir brauchen hier aber eine Definition, also die Rückrichtung.
>
> Nehme ich hier dann einfach [mm]\delta_1=\bruch{\delta}{2}[/mm] und
> dann ist
>
> [mm]B(x,\delta_1) \subset[/mm] inn(A) ?
>
> Ist das alles?
Nein. Dies mußt Du begründen. Und was ist $x$? Du willst doch [mm] $inn(A)\subseteq inn\bigl(inn(A)\bigr)$ [/mm] zeigen. Du mußt also zu einem gegebenen [mm] $x\in [/mm] inn (A)$ ein [mm] $\delta_1$ [/mm] angeben, so daß $B(x, [mm] \delta_1)\subseteq [/mm] inn(A)$ ist. Hierzu benutzt Du, daß es laut Definition ein [mm] $\delta$ [/mm] gibt, so daß [mm] $B(x,\delta)\subseteq [/mm] A$ ist. Du kannst übrigens [mm] $\delta_1=\delta$ [/mm] wählen.
Gruß,
Wolfgang
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x [mm] \in [/mm] inn(A) [mm] \Rightarrow \exists \delta>0 [/mm] mit [mm] B(x,\delta) \subset [/mm] A .
[mm] B(x,\delta) [/mm] ist also eine offene Menge, die in A enthalten ist. Per Definition ist inn(A) die grösste offene Menge, die in A enthalten ist. Also gilt [mm] $B(x,\delta) \subset [/mm] A$ und somit ist x [mm] \in [/mm] inn(inn(A))
So?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:56 Mo 24.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> x [mm]\in[/mm] inn(A) [mm]\Rightarrow \exists \delta>0[/mm] mit [mm]B(x,\delta) \subset[/mm]
> A .
>
> [mm]B(x,\delta)[/mm] ist also eine offene Menge, die in A enthalten
> ist. Per Definition ist inn(A) die grösste offene Menge,
> die in A enthalten ist. Also gilt [mm]B(x,\delta) \subset A[/mm]
> und somit ist x [mm]\in[/mm] inn(inn(A))
>
> So?
Ja
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 Mo 24.09.2012 | | Autor: | Helbig |
> x [mm]\in[/mm] inn(A) [mm]\Rightarrow \exists \delta>0[/mm] mit [mm]B(x,\delta) \subset[/mm]
> A .
>
> [mm]B(x,\delta)[/mm] ist also eine offene Menge, die in A enthalten
> ist. Per Definition ist inn(A) die grösste offene Menge,
> die in A enthalten ist. Also gilt [mm]B(x,\delta) \subset A[/mm]
> und somit ist x [mm]\in[/mm] inn(inn(A))
>
> So?
Nein. Richtig wäre: ... Also gilt [mm] $B(x,\delta)\subset \red [/mm] {inn} (A)$.
Ich hatte übrigens gehofft, daß Du diese Definition von $inn(A)$ benutzt, deshalb hatte ich danach gefragt. Genauso kann man $clos(A)$ als die kleinste abgeschlossene Menge, die $A$ enthält, definieren.
Gruß,
Wolfgang
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