integral bestimmen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:34 Mo 16.02.2015 | | Autor: | mimo1 |
| Aufgabe | Sei [mm] f_n:=sin(\bruch{x}{n})exp(-\bruch{n}{n+1}x^2)
[/mm]
Man bestimme [mm] \limes_{n\rightarrow \infty}\integral_{\IR}{f_n+f(x)d\lambda(x)} [/mm] |
Hallo zusammen
ich weiß nicht so recht wie da herangehen so und hoffe ihr könnt mir dabei helfen
ich habe jetzt folg gemacht
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{\IR}{f_n d\lamba(x) }=\limes_{n\rightarrow\infty}\integral {sin+\bruch{x}{n}exp(-\bruch{n}{n+1}x^2)d\lamba(x)} [/mm] dann hätte ich es abgeschätzt
[mm] \le\limes\integral 1\cdot \bruch{1}{1+x^2}d\lamba(x)
[/mm]
Kan man mir da jemand helfen ud generell eine allg vorangehensweise für solche aufgaben. Dankeschön im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:35 Mo 16.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f_n:=sin(\bruch{x}{n})exp(-\bruch{n}{n+1}x^2)[/mm]
>
> Man bestimme [mm]\limes_{n\rightarrow \infty}\integral_{\IR}{f_n+f(x)d\lambda(x)}[/mm]
Das soll wohl
[mm]\limes_{n\rightarrow \infty}\integral_{\IR}{f_n (x)d\lambda(x)}[/mm]
lauten.
>
> Hallo zusammen
>
> ich weiß nicht so recht wie da herangehen so und hoffe ihr
> könnt mir dabei helfen
>
> ich habe jetzt folg gemacht
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{\IR}{f_n d\lamba(x) }=\limes_{n\rightarrow\infty}\integral {sin+\bruch{x}{n}exp(-\bruch{n}{n+1}x^2)d\lamba(x)}[/mm]
Statt "+" wohl "*"
> dann hätte ich es abgeschätzt
>
> [mm]\le\limes\integral 1\cdot \bruch{1}{1+x^2}d\lamba(x)[/mm]
Wie begründest Du das ???
>
> Kan man mir da jemand helfen ud generell eine allg
> vorangehensweise für solche aufgaben. Dankeschön im
> voraus
1. Zeige, dass die Folge [mm] (f_n) [/mm] auf [mm] \IR [/mm] punktweise gegen 0 konvergiert.
2. Zeige: [mm] |f_n(x)| \le exp(-\bruch{1}{2}x^2) [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] und alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
3. Jetzt Satz von der majorisierten Konvergenz.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Mo 16.02.2015 | | Autor: | mimo1 |
Danke für deine antwort.
Ich habe es jetzt so nach deine anweisung gemacht:
Zu 1. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_n=\limes_{n\rightarrow\infty}\underbrace{sin(\bruch{x}{n})}_{\bruch{x}{n}}exp(-\bruch{n}{n+1}x^2)\le \limes\bruch{x}{n} exp(-\bruch{n}{n+1}x^2) [/mm] =0 dafür
[mm] \limes\bruch{x}{n} [/mm] =0 ist. Damit wir alles null , richtig. Sotmit konvwegiert [mm] f_n [/mm] pktweise gegen 0.
Zu 2. Verstehe ich nicht ganz wie du auf [mm] exp(-\bruch{1}{2}x^2) [/mm] ausser dass du salopp gesagt für n=1 gesetzt hast. Kann man es so machen?
Ich hätte es so gemacht : [mm] |f_n|=\underbrace{sin(\bruch{x}{n})}_{\le 1}exp(-\bruch{n}{n+1}x^2) \le exp(-n/(n+1)x^2) [/mm]
Könnte es man dann einfach mit einem polynom abshätzen? Zb mit [mm] \bruch{C}{1+x^2} [/mm] wobei C>0 eine konstante ist.
Es ist wirklich wichtig für die klausur. Diese aufgabe dient fur mich nur zur klausurvorbereitung. Kwnn du mir daweiterhelfen. Dankeschön im voraus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 Mo 16.02.2015 | | Autor: | Jodocus |
Keine Ahnung wie rigoros bei euch Mathe korrigiert wird, aber dein Konvergenz"beweis" sieht ziemlich mau aus. Da du offensichtlich nicht verstehst, warum du erstens und zweitens zeigen sollst, schau dir mal drittens an, denn dann siehst du, dass 1. und 2. die Vorraussetzungen für den Satz der majorisierten Konvergenz sind, den du dann anwenden musst, um den Grenzwert des Integrals zu finden.
Oder mal vorsichtig gefragt: wie habt ihr denn gelernt, unter welchen Bedingungen Intergration und Limes vertauscht werden dürfen?
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