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Forum "Integralrechnung" - integral mit ln
integral mit ln < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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integral mit ln: wie loesen?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:25 Di 18.03.2008
Autor: sike

Aufgabe
[mm] \integral{x^{2} \wurzel{ln(x)} dx} [/mm]

keine idee. partialintegration geht hier nicht. substitution? welche?

        
Bezug
integral mit ln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:43 Di 18.03.2008
Autor: Teufel

Hi!

Selbst Derive hat da keine passende Lösung gefunden. Ich selber hätte es mit [mm] x=e^{t^{2}} [/mm] versucht um das ln und die Wurzel wegzukriegen. Aber damit verfängt man sich auch.

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integral mit ln: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:48 Di 18.03.2008
Autor: Herby

Hallo Teufel,

das war auch mein erster Ansatz [mm] ln(x)=t^2 [/mm] -- weil ja die [mm] x^2 [/mm] da rumstehen.


lg
Herby

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integral mit ln: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:50 Di 18.03.2008
Autor: Teufel

Hmhm, ich kriege es nur so lange klein, bis man [mm] e^{2t^{2}} [/mm] integrieren müsste, was einfach aussieht, aber leider auch nicht wirklich möglich ist. Ein verflixtes Integral ;)

Gibt es eigentlich Integrale, die man nicht bestimmen kann? Oder kann man jedes Integral explizit bestimmen, also ohne Integralzeichen angeben?

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integral mit ln: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:54 Di 18.03.2008
Autor: Herby

Hallo,

es gibt durchaus Integrale, die man nicht darstellen kann - so - jetzt bekomme ich gleich wieder ein paar zwischen die Hörner, weil es zu ungenau ausgedrückt ist ;-) -- da war schon mal was.

Also, das Integral an sich ist lösbar, aber es gibt keinen geschlossenen Ausdruck dafür - ich hoffe das war besser [grins]

bleibt die numerische Auswertung

Liebe Grüße
Herby

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integral mit ln: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:00 Mi 19.03.2008
Autor: rainerS

Hallo Teufel!

> Gibt es eigentlich Integrale, die man nicht bestimmen kann?
> Oder kann man jedes Integral explizit bestimmen, also ohne
> Integralzeichen angeben?

Ja und nein ;-)

Zunächst einmal muss das Integral überhaupt existieren: ein Integral ist ja definiert als ein Grenzwert, und der Grenzwert muss existieren. Ich nehme an, das hast du vorausgesetzt.

Wenn es existiert, dann existiert die Stammfunktion als abstrakte Funktion. Deine Frage ist eher: kann ich diese Stammfunktion immer ausdrücken durch bekannte Funktionen. Die Antwort darauf ist eindeutig: Nein.

Das vorliegende Integral zeigt das; es lässt sich durch Substitution auf das Integral über [mm] $e^{-t^2}$ [/mm] zurückführen. Das kann man nicht durch rationale, Exponential- und Logarithmusfunktionen ausdrücken, also erfindet man einen neuen Funktionsnamen dafür [mm] ($\mathrm{erf}(x)$ [/mm] bzw. [mm] $\Phi(x)$). [/mm] Damit ist man das Integralzeichen natürlich los ;-)

Für gewisse Klassen von Funktionen geht es: zum Beispiel ist die Stammfunktion eines Polynoms wieder ein Polynom. Die Stammfunktion einer rationalen Funktion kann man im Prinzip durch Kombinationen von rationalen Funktionen und Logarithmen ausdrücken; das ist allerdings in komplizierten Fällen sehr sehr aufwändig.

Gerade für die Computeralgebrasysteme ist es wichtig zu wissen, wann es funktioniert und vor allem auch einen Algorithmus anzugeben. Zur Theorie gibt es []Buch von Manuel Bronstein.

Viele Grüße
   Rainer


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integral mit ln: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:30 Mi 19.03.2008
Autor: Teufel

Ah ok, ich danke euch :)

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integral mit ln: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:51 Di 18.03.2008
Autor: sike

ich weiss. man verfaengt sich voll mit den [mm] t^{2} [/mm] und den [mm] e^{t^{2}}. [/mm] Mathematica loest den integral aber mit der Erfi() (error function i=imaginary) funktion.

Bezug
        
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integral mit ln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:09 Mi 19.03.2008
Autor: rainerS

Hallo!

> [mm]\integral{x^{2} \wurzel{ln(x)} dx}[/mm]
>  keine idee.
> partialintegration geht hier nicht. substitution? welche?

Wie Teufel schon schrieb, bietet sich [mm] $x=\mathrm{e}^{t^2}$ [/mm] an. Das führt auf ein Integral, das man mit partieller Integration auf

[mm] \integral \mathrm{e}^{3t^2} dt [/mm]

zurückführt, und das ist nicht durch elementare Funktionen darstellbar. Durch [mm] $z=i\sqrt{3}t$ [/mm] wird daraus (bis auf einen Vorfaktor)

[mm] \integral \mathrm{e}^{-z^2} dz [/mm]

und das ist die Fehlerfunktion [mm] $\mathrm{erf}(z)$ [/mm] (wieder bis auf einen Vorfaktor).

Maxima gibt diese Stammfunktion aus:

[mm] $$\integral{x^{2} \wurzel{ln(x)} dx}=2\,\left({{\sqrt{\pi}\,i\,\mathrm{erf}\left(\sqrt{3}\,i\,\sqrt{ \log x}\right)}\over{12\,\sqrt{3}}}+{{x^3\,\sqrt{\log x}}\over{6}} \right)$$ [/mm]

Viele Grüße
   Rainer

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