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| Aufgabe | Sei $D [mm] \subseteq \IR^n$ [/mm] konvex, [mm] $\Phi: [/mm] D [mm] \to \IR^n$ [/mm] stetig differenzierbar.
Zeige für alle $x,y [mm] \in [/mm] D$:
[mm] $\Phi(x) [/mm] - [mm] \Phi(y) [/mm] = [mm] \int_0^1 \Phi'(y+t(x-y))(x-y) [/mm] dt$
Hinweis:
Betrachte [mm] $\phi: [/mm] [0,1] [mm] \to \IR^n, [/mm] t [mm] \mapsto \Phi(y+t(x-y))$ [/mm] |
moin,
Ich hab mit obiger Aufgabe gerade so meine Probleme.
Es fängt schon mit der Frage an, wie denn ein (Riemann?)integral einer Funktion von [mm] $\IR \to \IR^n$ [/mm] überhaupt definiert ist, denn da [mm] $\Phi [/mm] : [mm] \IR^n \to \IR^n$, [/mm] ist [mm] $\Phi'$ [/mm] eine $n [mm] \times [/mm] n$ Matrix und wenn wir $(x-y)$ dranmultiplizieren landen wir im [mm] $\IR^n$. [/mm] Die linke Seite lässt vermuten, dass der Wert des Integrals im [mm] $\IR^n$ [/mm] liegen soll; ist das ggf. eintragsweise zu verstehen?
Dann nochmal kurz zu dem, was ich verstehe bzw. zu verstehen glaube:
Es ist [mm] $\{y+t(x-y) \mid t \in [0,1]\}$ [/mm] die Verbindungsgerade zwischen $x$ und $y$, die, da $D$ konvex ist, komplett in $D$ liegt; damit ist wenigstens [mm] $\phi$ [/mm] wohldefiniert.
Da [mm] $\Phi$ [/mm] stetig ist, ist [mm] Bild($\phi$) [/mm] die "Verbindung" zwischen [mm] $\Phi(x)$ [/mm] und [mm] $\Phi(y)$; [/mm] allerdings muss das wohl kaum eine Gerade sein und ich weiß nicht in wie weit mir das was bringt.
Also für Tipps, Hilfe, etc. wäre ich euch sehr dankbar.
lg
Schadow
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:22 Mo 14.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]D \subseteq \IR^n[/mm] konvex, [mm]\Phi: D \to \IR^n[/mm] stetig
> differenzierbar.
> Zeige für alle [mm]x,y \in D[/mm]:
> [mm]\Phi(x) - \Phi(y) = \int_0^1 \Phi'(y+t(x-y))(x-y) dt[/mm]
>
> Hinweis:
> Betrachte [mm]\phi: [0,1] \to \IR^n, t \mapsto \Phi(y+t(x-y))[/mm]
>
> moin,
>
> Ich hab mit obiger Aufgabe gerade so meine Probleme.
> Es fängt schon mit der Frage an, wie denn ein
> (Riemann?)integral einer Funktion von [mm]\IR \to \IR^n[/mm]
> überhaupt definiert ist, denn da [mm]\Phi : \IR^n \to \IR^n[/mm],
> ist [mm]\Phi'[/mm] eine [mm]n \times n[/mm] Matrix und wenn wir [mm](x-y)[/mm]
> dranmultiplizieren landen wir im [mm]\IR^n[/mm]. Die linke Seite
> lässt vermuten, dass der Wert des Integrals im [mm]\IR^n[/mm]
> liegen soll; ist das ggf. eintragsweise zu verstehen?
Genau so !
>
> Dann nochmal kurz zu dem, was ich verstehe bzw. zu
> verstehen glaube:
> Es ist [mm]\{y+t(x-y) \mid t \in [0,1]\}[/mm] die Verbindungsgerade
> zwischen [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm], die, da [mm]D[/mm] konvex ist, komplett in [mm]D[/mm]
> liegt; damit ist wenigstens [mm]\phi[/mm] wohldefiniert.
> Da [mm]\Phi[/mm] stetig ist, ist Bild([mm]\phi[/mm]) die "Verbindung"
> zwischen [mm]\Phi(x)[/mm] und [mm]\Phi(y)[/mm]; allerdings muss das wohl kaum
> eine Gerade sein und ich weiß nicht in wie weit mir das
> was bringt.
>
>
> Also für Tipps, Hilfe, etc. wäre ich euch sehr dankbar.
Wir haben doch [mm] \phi(t)=\Phi(y+t(x-y))
[/mm]
Damit ist [mm] \phi'(t)=\Phi'(y+t(x-y))*(x-y)
[/mm]
Also [mm] \int_0^1 \Phi'(y+t(x-y))(x-y) dt=\int_0^1 \phi'(t) dt=\phi(1)-\phi(0)
[/mm]
FRED
>
>
> lg
>
> Schadow
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Hmm, Kettenregel, das ist eine Idee, ja.
Danke. ;)
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