integration durch substitution < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 Mi 16.07.2008 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
ich hab ne frage zur Integration durhc Substitution und zwar ob es dafür bestimtm häufig angewendete TEchniken gibt, es gibt zwar viele resourcen aber die gehen da alle ganz unterschiedlich dran. Ist es denn sow ei beid er partiellen Integration, dass ein Teil des Terms auch shcon als "abgeleitet" eingesetzt wird ? also wie bei der partieleln Integration, dass amn einen Teil der Integrandenfunktin als abegleitet udn einen als normal definiert? Und noch eine Frage ichhab hie nachgeguckt ![[]](/images/popup.gif) Link
und da ist das erste Beispiel [mm] \integral_{a}^{b}{e^{2x} dx}
[/mm]
dass 2x wird dann als u substituiert und aber warum ändert sich das integral in
[mm] \integral_{a}^{b}{e^u \bruch{du}{2}} [/mm] und danach wird die [mm] \bruch{1}{2} [/mm] sogar vor das Integral gezogen? Also warum du/2 udn warum darf man die (1/2) da so einfach rauslösen?
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> Hallo,
Hey!
> ich hab ne frage zur Integration durhc Substitution und
> zwar ob es dafür bestimtm häufig angewendete TEchniken
> gibt, es gibt zwar viele resourcen aber die gehen da alle
> ganz unterschiedlich dran.
Es wird meistens der Teil unterhalb einer Wurzel oder der im Exponenten substiutiert. Dies ist aber nur die Regel bei "einfacheren" Integralen. Es kann auch ganz absurde Substitutionen geben, auf die man auf Anhieb nicht kommt. Dies ist aber in der Schule meistens nicht so.
> Ist es denn sow ei beid er
> partiellen Integration, dass ein Teil des Terms auch shcon
> als "abgeleitet" eingesetzt wird ? also wie bei der
> partieleln Integration, dass amn einen Teil der
> Integrandenfunktin als abegleitet udn einen als normal
> definiert?
Nein!
> Und noch eine Frage ichhab hie nachgeguckt
> Link
>
> und da ist das erste Beispiel [mm]\integral_{a}^{b}{e^{2x} dx}[/mm]
>
> dass 2x wird dann als u substituiert und aber warum ändert
> sich das integral in
> [mm]\integral_{a}^{b}{e^u \bruch{du}{2}}[/mm] und danach wird die
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] sogar vor das Integral gezogen? Also warum
> du/2 udn warum darf man die (1/2) da so einfach rauslösen?
Also wir setzen $u:=2x$
Nun musst du ableiten, denn wir müssen auch das Differential "dx" der neuen Substitution anpassen: $du=2dx [mm] \to dx=\frac{1}{2}du$. [/mm] Somit musst du das dx durch [mm] $\frac{1}{2}du$ [/mm] ersetzen.
Somit bleibt zu berechnen: [mm] \integral_{u(a)}^{u(b)}{e^u \frac{1}{2}du}. [/mm] Ob du nun das 1/2 vor das Integral ziehst bleibt dir überlassen. Dieses hängt nicht mehr von u ab und konstante Faktoren kann man immer nach vorne ziehen, dadruch wird das ganze Integral noch übersichtlicher.
P.S. Denk an die Ängerung der Grenzen!!
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Mi 16.07.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
danke für die schnelle antwort. Ich hab das soweit verstanden aber die Änderung der Differentiale bereitet mir Schwierigkeiten.
Es gilt ja
dy= y' * dx
aber weshalb wird denn sobald ich jetzt wie hier zum Beispiel die 2x := u
definiere "du" für dy eingesetzt und nicht zum Beispiel für dx?
dy gibt ja eigentlich nur die Steigung an jedem Punkt der Funktion f an oder, halt für ein sehr kleines dx. Also so wie ich verstanden hab ist dy eigentlich der y Unterschied an der Tangente und darf deshalba uch nru für extrem kleine dx benutzt werden oder?
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> hallo,
> danke für die schnelle antwort. Ich hab das soweit
> verstanden aber die Änderung der Differentiale bereitet mir
> Schwierigkeiten.
> Es gilt ja
> dy= y' * dx
[mm] \gdw [/mm] du = u' dx (die Bezeichnung der Substitutionsvariable ist doch nur anders)
und hier ist u'=2 also stimmt doch alles.
> aber weshalb wird denn sobald ich jetzt wie hier zum
> Beispiel die 2x := u
> definiere "du" für dy eingesetzt und nicht zum Beispiel für
> dx?
> dy gibt ja eigentlich nur die Steigung an jedem Punkt der
> Funktion f an oder, halt für ein sehr kleines dx. Also so
> wie ich verstanden hab ist dy eigentlich der y Unterschied
> an der Tangente und darf deshalba uch nru für extrem kleine
> dx benutzt werden oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Mi 16.07.2008 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
hab mich mal an eien aufgabe gemacht und zwar
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{x^3}{(x+3)^2} dx}
[/mm]
hab da raus :
2
27 x
27·LN(x + 3) + ⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯ - 6·x
x + 3 2
mein taschenrechner hat aber raus :
2
54·(x + 3)·LN(|x + 3|) + x·(x - 9·x - 54)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2·(x + 3)
ist das identisch ??
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Hallo,
> Hallo,
> hab mich mal an eien aufgabe gemacht und zwar
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{x^3}{(x+3)^2} dx}[/mm]
> hab da raus :
> 2
> 27 x
> 27·LN(x + 3) +
> ⎯⎯⎯⎯⎯ +
> ⎯⎯ - 6·x
> x + 3 2
>
Das sieht in Ordnung aus ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") . Versuche aber den Formeleditor zu benutzen dann wird es einfacher zu lesen sein.
> mein taschenrechner hat aber raus :
>
> 2
> 54·(x + 3)·LN(|x + 3|) + x·(x - 9·x - 54)
> ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
> 2·(x + 3)
>
Bringe deine Stammfunktion auf einen gemeinsamen Nenner um zu schauen ob dies auch tatsächlich das selbe ist.
> ist das identisch ??
Tipp: Wenn du prüfen möchtest ob du deine Stammfunktion richtig errechnet hast solltest du die Stammfunktion ableiten denn es gilt [mm] \\F'(x)=f(x)
[/mm]
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:12 Mi 16.07.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
ich hab ein Problem bei meiner Aufgabe also
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{x^3}{(x+3)^2} dx}
[/mm]
den rest sagt das bild
[Dateianhang nicht öffentlich]
aslo warum stimtm die stammfuntkion von derive nicht ( kann ja net sein )
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:26 Mi 16.07.2008 | | Autor: | Blech |
> hallo,
> ich hab ein Problem bei meiner Aufgabe also
> [mm]\integral{\bruch{x^3}{(x+3)^2} dx}[/mm]
[mm] $\frac{27(x+2)}{(x+3)^2}+x-6=\bruch{x^3}{(x+3)^2}$
[/mm]
(das kann bei Deiner Lösung schon mal nicht gelten, weil bei
[mm] $\frac{27(x+4)}{(x+3)^2}+2x-3$
[/mm]
nur ein [mm] $x^3$ [/mm] Term auftauchen wird, sobald Du erweiterst, nämlich durch [mm] $2x(x+3)^2$, [/mm] und damit kriegst Du auf jeden Fall [mm] $2x^3$ [/mm] =)
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:14 Do 17.07.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
ja das stimmt aber das von derive kannja irgendwie auch net stimmen, wennd ie abgeleitetet stammfunktion nicht gleich der Integrandenfunktion ist oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:23 Do 17.07.2008 | | Autor: | noobo2 |
sorry, ich hab das mal in derive eingegeben und es ist natürlich identschu entschuldigung ^^
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Hallo,
wenn du deinen Ausdruck #4 erweiterst, kommst du doch genau auf den Integranden:
[mm] $\frac{27(x+2)}{(x+3)^2}+x-6=\frac{27x-54}{(x+3)^2}+\frac{x\blue{(x+3)^2}}{\blue{(x+3)^2}}-\frac{6\blue{(x+3)^2}}{\blue{(x+3)^2}}=\frac{27x+54+x^3+6x^2+9x-6x^2-36x-54}{(x+3)^2}=\frac{x^3}{(x+3)^2}$
[/mm]
Also hat DERIVE nur anders zusammengefasst ....
LG
schachuzipus
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