integration lnx/x < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | integrieren Sie folgende funktion |
Gesucht ist [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{lnx}{x}dx} [/mm] </task>
Lösung liegt mir (dank derive) vor. aber wieso ist das so??
Angedachte Lsg.:
PArtielle Integration: v'(x)= [mm] \bruch{1}{x} [/mm] und u(x)=lnx
Dann lautet es so:
[mm] [lnx*lnx]-[b]\integral_{a}^{b}{\bruch{lnx}{x}dx}[/b] [/mm] .... das spielchen lässt sich doch beliebig weiterspielen, ohne auf nen grünen zweig zu kommen, oder??
wenn ich v'(x)=lnx und u(x)= [mm] \bruch{1}{x} [/mm] setze, dann bekomme ich
(...) = -1+lnx - [mm] (\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x}dx} [/mm] - [mm] [b]\integral_{ \bruch{lnx}{x}dx})[/b] [/mm] und bin wieder am anfang!
help...ich glaub schon ich werd blöde....wo ich doch sonst so eigentlich keine probs beim integr hab.,....
Löw N Zahn
|
|
| |
|
Hallo,
versuch's mal mit Substitution,
y=ln(x).
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
ähm, und jetzt steh ich wohl wirklich auf dem schlauch.... dass ich substituieren könnte, auf die idee war ich auch gekommen, aber das bringt mir doch nur was, wenn ich dann entw die form [mm] \bruch{f'(x)}{f(x)} [/mm] oder die form f(x)=f(g(t))*(g'(t)) mit x= g(t) habe, oder??
denn hier habe ich doch dann (wenn y=lnx) bloß die form y*y' ....
und dann?!
|
|
|
| |
|
> ähm, und jetzt steh ich wohl wirklich auf dem schlauch....
> dass ich substituieren könnte, auf die idee war ich auch
> gekommen, aber das bringt mir doch nur was, wenn ich dann
> entw die form [mm]\bruch{f'(x)}{f(x)}[/mm] oder die form
> f(x)=f(g(t))*(g'(t)) mit x= g(t) habe, oder??
> denn hier habe ich doch dann (wenn y=lnx) bloß die form
> y*y' ....
Hopp,
mach's einfach mal, und wenn's nicht klappt, zeig, wie weit Du kommst.
y= lnx [mm] x=e^y
[/mm]
dx=...dy (bei den Punkten kommst die Ableitung von x nach y hin, möglicherweise war das der Knackpunkt.)
Dann einsetzen, Grenzen anpassen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:25 Do 17.05.2007 | | Autor: | Donut87 |
Das Problem lässt sich durch partielle Integration lösen:
[mm] \integral{\bruch{lnx}{x} dx}
[/mm]
u(x) = ln x v(x) = ln x
u'(x)= [mm] \bruch{1}{x} [/mm] v'(x) = [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{lnx}{x} dx} [/mm] = (ln x)² -
[mm] \integral{\bruch{lnx}{x} dx}
[/mm]
<=> 2 * [mm] \integral{\bruch{lnx}{x} dx} [/mm] = (ln x)²
<=> [mm] \integral{\bruch{lnx}{x} dx} [/mm] = [mm] \bruch{(ln x)²}{2}
[/mm]
|
|
|
|
