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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:53 Mo 23.05.2011 | | Autor: | simplify |
| Aufgabe | Betrachte den Maßraum [mm] (\IN;\mathcal{B}(\IN); \mu), [/mm] wobei [mm] \mu [/mm] das Zählmaß auf [mm] \mathcal{B}(\IN) [/mm] sei.
(i) Wie sieht das Integral [mm] \integral_{\IN}^{}{f d\mu} [/mm] aus?
(ii) Welche der Funktionen f; g; h : [mm] \IN \to \IR, [/mm] f(n) = 1, g(n) = n ^{a}, h(n) [mm] =\bruch{(-1)^{n}}{n}
[/mm]
sind (quasi)integrierbar? |
hallöchen
ich komme bei der aufgabe nicht weiter.
hab irgendwie eine blockade im kopf.
ich weiß nicht wie ich bei i) das integral aussehen soll,ich weiß doch gar nichts über f oder?
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Hiho,
bedenke, dass gilt: [mm] $\IN [/mm] = [mm] \bigcup_{n=1}^\infty \{n\}$
[/mm]
Dann Rechenregeln für Integrale benutzen....
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Di 24.05.2011 | | Autor: | simplify |
danke erstmal....
ich habe nun folgendes:
[mm] \integral_{\IN}^{}{f d\mu}=\mu (\IN)=\summe_{i=1}^{\infty} c_{i} \mu(\IN \cap \{n_i\})=\summe_{i=1}^{\infty} c_{1} \mu(1) [/mm] + [mm] c_{2} \mu(2)+...
[/mm]
mit [mm] c_{i},n_{i} \in \IN
[/mm]
kann ich das jetzt irgendwie mit der arithmetischen reihe verbinden?
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Huhu,
da sind ja Fehler drin.... *brr*
Aber Schritt für Schritt.....
[mm]\integral_{\IN}^{}{f d\mu}=\mu (\IN)[/mm]
Wie kommst du darauf? Insbesondere ist [mm] $\mu(\IN) [/mm] = [mm] \infty [/mm] $, nach deiner Aussage wäre also das Integral immer unendlich, unabhängig von f ??
[mm] $=\summe_{i=1}^{\infty} c_{i} \mu(\IN \cap \{n_i\})$
[/mm]
Was sind die [mm] c_i [/mm] ?
[mm] $=\summe_{i=1}^{\infty} c_{1} \mu(1) [/mm] + [mm] c_{2} \mu(2)+\ldots [/mm] $
Wo kommt denn plötzlich die Doppelsumme her bzw was soll das Summenzeichen da noch?
Korrekte Schreibweise wäre hier übrigens [mm] $\mu(\{1\})$, [/mm] denn $1 [mm] \not\in \mathcal{B}(\IN)$ [/mm] im Gegensatz zu [mm] $\{1\}$.
[/mm]
Und was ist [mm] $\mu(\{1\})$ [/mm] denn? Und [mm] $\mu(\{2\})$? [/mm] Etc....
> kann ich das jetzt irgendwie mit der arithmetischen reihe verbinden?
Korrigier erstmal die Fehler, dann sehen wir weiter....
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:56 Di 24.05.2011 | | Autor: | simplify |
ohh...da ist dann wohl einiges schief gegeangen.
die doppelsumme war nicht gewollt.hab es verwirrenderweise so aufgeschrieben.
bin aber jetzt noch mehr verwirrt.hab irgendwie den faden verloren,was ich zeigen will.
also es muss zumindest so verbessert werden:
[mm] \integral_{\IN}^{}{f d\mu}=\mu(f)
[/mm]
diese [mm] c_{i} [/mm] sollten eigentlich die paarweise disjunkten funktionswerte sein (laut meinem skript),nicht richtig?
und ich würde sagen:
[mm] \mu(\{1\})=1=\mu(\{2\})=...
[/mm]
und weiter gilt doch noch
[mm] \mu(f)=\mu(\bigcup_{i=1}^{\infty}f_{i})=
[/mm]
[mm] =\mu(\bigcup_{n=1}^{\infty}{n}) [/mm] (für [mm] n\in \IN,weil [/mm] f ja quasi über [mm] \IN [/mm] läuft)
[mm] =\summe_{i=1}^{\infty}\mu(f_{i})=\summe_{i=1}^{\infty}\mu({n})
[/mm]
soweit so gut erstmal!?
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Huhu,
> also es muss zumindest so verbessert werden:
> [mm]\integral_{\IN}^{}{f d\mu}=\mu(f)[/mm]
Was ist denn nun [mm] $\mu(f)$? [/mm] Das macht ebenfalls keinen Sinn, denn ist $f [mm] \in \mathcal{B}(\IN)$ [/mm] ?
> diese [mm]c_{i}[/mm] sollten
> eigentlich die paarweise disjunkten funktionswerte sein
Was sind paarweise disjunkte Funktionswerte? Paarweise disjunkt können nur Mengen sein.
> (laut meinem skript),nicht richtig?
Macht bisher wenig Sinn.
> und ich würde sagen:
> [mm]\mu(\{1\})=1=\mu(\{2\})=...[/mm]
Ja
> und weiter gilt doch noch
> [mm]\mu(f)=\mu(\bigcup_{i=1}^{\infty}f_{i})=[/mm]
> [mm]=\mu(\bigcup_{n=1}^{\infty}{n})[/mm] (für [mm]n\in \IN,weil[/mm] f ja
> quasi über [mm]\IN[/mm] läuft)
Nein.....
Au man.... du scheinst noch arge Probleme zu haben, was das Basiswissen angeht.
Zurück zum Anfang, es geht ganz einfach:
[mm] \integral_{\IN}\;f\,d\mu [/mm] = [mm] \integral_{\bigcup_{n=1}^\infty \{n\}}\;f\,d\mu [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^\infty \integral_{\{n\}}\;f\,d\mu$
[/mm]
Nun überleg dir, dass f auf der (einelementigen) Menge [mm] $\{n\}$ [/mm] konstant ist (mit welchem Wert?).
Das kannst du einsetzen und als Konstante aus dem Integral hinausziehen. Nutze dann [mm] $\integral_{\{n\}}\;1\,d\mu [/mm] = [mm] \mu(\{n\}) [/mm] = 1$.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:36 Mi 25.05.2011 | | Autor: | simplify |
ich würde sagen,dass f auf der einelemntigen menge {n} den konstanten wert n annimmt.
dann habe ich nur noch
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] n , da das integral 1 wird...!?
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Huhu,
> ich würde sagen,dass f auf der einelemntigen menge {n} den
> konstanten wert n annimmt.
Du würdest also sagen, dass eine Funktion auf den natürlichen Zahlen immer den Wert der dortigen Zahl annimmt?
Dann wäre für jede Funktion IMMER:
$f(1) = 1, f(2) = 2, [mm] \ldots$
[/mm]
Wie du sicher selbst erkennst, macht das keinen Sinn.
f hat auf der Menge [mm] $\{n\}$ [/mm] IMMER den Funktionswert $f(n)$!
> dann habe ich nur noch
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] n , da das integral 1 wird...!?
Nunja, den Schritt es zu ändern in:
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}f(n)$
[/mm]
ist jetzt nicht mehr zu schwer. Aber ja, das ist dann das Ergebnis.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:23 Mi 25.05.2011 | | Autor: | simplify |
danke...
ich sollte wohl erstmal die anfänge im stoff durchgehen.
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