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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Do 24.04.2008 | | Autor: | bonczi |
| Aufgabe | | Zeigen Sie folgenden Sachverhalt mit Hilfe des Lebesgueschen Integrabilitätskriteriums. Sind die funktionen [mm] f_{n}: [a,b]\to\IR, [/mm] n=1,2..., R-integrierbar und konvergiert [mm] f_{n}\to [/mm] f gleichmäßig, so ist auch f R-integrierbar. |
Hallo Leute, wollte mal wissen, ob meine Überlegungen richtig sind. Bin dankbar für jede Korrektur!
Also nach dem Lebesgueschen Int-krit. muss ich ja beweisen, dass f beschränkt ist und endlich viele Unstetigkeitsstellen (bestenfalls stetig ist) hat.
f ist stetig, da [mm] f_{n}\to [/mm] f gleichmäßig konvergiert und eine gleichmäßig konvergente Folge von Funktionen eine stetige Grenzfunktion hat. f ist also die stetige Grenzfunktion.
und f ist beschränkt, da jede in einem kompakten Intervall (hier [a,b] ) stetige Funktion beschränkt ist. (Satz vom Maximum)
daraus folgt, dass auch f Riemann-integrierbar ist.
jetzt ist noch meine frage: ist das richtig? muss ich noch die rückrichtung des beweises zeigen oder hat der beweis eine genau-dann-wenn-beziehung?
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Hallo bonczi,
> Zeigen Sie folgenden Sachverhalt mit Hilfe des
> Lebesgueschen Integrabilitätskriteriums. Sind die
> funktionen [mm]f_{n}: [a,b]\to\IR,[/mm] n=1,2..., R-integrierbar und
> konvergiert [mm]f_{n}\to[/mm] f gleichmäßig, so ist auch f
> R-integrierbar.
> Hallo Leute, wollte mal wissen, ob meine Überlegungen
> richtig sind. Bin dankbar für jede Korrektur!
>
> Also nach dem Lebesgueschen Int-krit. muss ich ja beweisen,
> dass f beschränkt ist und endlich viele
> Unstetigkeitsstellen (bestenfalls stetig ist) hat.
>
> f ist stetig, da [mm]f_{n}\to[/mm] f gleichmäßig konvergiert und
> eine gleichmäßig konvergente Folge von Funktionen eine
> stetige Grenzfunktion hat. f ist also die stetige
> Grenzfunktion.
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> und f ist beschränkt, da jede in einem kompakten Intervall
> (hier [a,b] ) stetige Funktion beschränkt ist. (Satz vom
> Maximum)
>
> daraus folgt, dass auch f Riemann-integrierbar ist.
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> jetzt ist noch meine frage: ist das richtig? muss ich noch
> die rückrichtung des beweises zeigen oder hat der beweis
> eine genau-dann-wenn-beziehung?
Dieselbe Frage hast Du hier schon mal gepostet.
Gruß
MathePower
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