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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:38 Di 04.07.2006 | | Autor: | Thome |
| Aufgabe 1 | | Für welches C ist [mm] \bruch{4}{\pi}\integral_{0}^{C}\bruch{1}{x²+1}dx [/mm] = 1 |
| Aufgabe 2 | | Für welches a ist [mm] \integral_{1}^{2} e^a^xdx [/mm] = 1 |
Ich habe leider keine Ahnung was ich da machen soll!!
Ich komme nicht mal zu einem Ansatz könnte mir jemand mal die Aufgaben vorrechnen? Damit ich mal zwei Beispielaufgaben zu dem Thema habe!
Vielen dank schon mal!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:08 Di 04.07.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Für welches C ist
> [mm]\bruch{4}{\pi}\integral_{0}^{C}\bruch{1}{x²+1}dx[/mm] = 1
Hallo,
Zuallererst musst du die Stammfunktion F der Funktion f innerhalb des Integrales bilden. Eine Übersicht über die Stammfunktionen findest du
![[]](/images/popup.gif) hier
Jetzt musst du nur noch F(b) - F(a) berechnen, wobei a die untere Grenze des Integrals ist und b die obere. Dieser Wert ist die Fläche der Funktion zwischen a und b , deren Wert du ja in den Aufgaben vorgegeben hast.
Für die erste Aufgabe
[mm] \bruch{4}{\pi}\integral_{0}^{C}\bruch{1}{x²+1}dx [/mm] = 1
[mm] \gdw [/mm]
[mm] \bruch{4}{\pi} \underbrace{[arctan(x)]^{C}_{0}}_{Stammfunktion} [/mm] = 1
[mm] \gdw [/mm]
[mm] \bruch{4}{\pi} [/mm] [arctan(C) - [mm] \underbrace{arctan (0)}_{=0}] [/mm] = 1
[mm] \gdw [/mm]
[mm] \bruch{4}{\pi} [/mm] arctan(C) = 1
[mm] \gdw [/mm] arctan(C) = [mm] \bruch{\pi}{4}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] C = ? Sorry, mein TR streikt. (bei dem Wetter, kein Wunder)
> Für welches a ist [mm]\integral_{1}^{2} e^a^xdx[/mm] = 1
Funktioniert wie oben,
[mm] \integral_{1}^{2} e^a^xdx [/mm] = 1
[mm] \gdw [\underbrace{\bruch{1}{a} * e^{ax}}_{Stammfkt.}]^{2}_{1} [/mm] = 1
[mm] \gdw [\bruch{1}{a} e^{a*2}] [/mm] - [mm] [\bruch{1}{a} e^{a}] [/mm] = 1
Das ganze musst du jetzt noch nach a auflösen...
> Ich habe leider keine Ahnung was ich da machen soll!!
> Ich komme nicht mal zu einem Ansatz könnte mir jemand mal
> die Aufgaben vorrechnen? Damit ich mal zwei
> Beispielaufgaben zu dem Thema habe!
> Vielen dank schon mal!!
>
>
Ich hoffe, das hilft weiter.
Marius
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Di 04.07.2006 | | Autor: | Thome |
Hi sehr gut das hat mir echt schon weiter geholfen!!
aber irgendwie bekomme ich C nicht raus oder mein taschenrechner spinnt!
ich bekomme für C = 0,0137 raus das kann doch nicht sein oder?
Sollte glaube ich was gerades sein.
Ist a = 1 oder habe ich mich da auch vertan 
Breuchte nochmal hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!
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Hallo Thome!
> ich bekomme für C = 0,0137 raus das kann doch nicht sein oder?
> Sollte glaube ich was gerades sein.
Du musst Deinen TR auf den Modus "Bogenmass" [mm] $\fbox{\text{RAD}}$ [/mm] bzw. [mm] $\fbox{\text{R}}$ [/mm] einstellen.
Dann solltest Du als glattes Ergebnis $C \ = \ 1$ erhalten.
> Ist a = 1 oder habe ich mich da auch vertan
Wie hast Du das denn ausgerechnet? Kannst Du auch mal evtl. die Grenzen Deines Integrales überprüfen? Lauten diese wirklich $1_$ und $2_$ , oder steckt da auch noch irgendwie ein $a_$ mit drin?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Di 04.07.2006 | | Autor: | Thome |
Ja wunderbar jetzt bekomme ich auch 1 raus wie blöd von mir!
Ich hab das Integral nochmal überprüft die grenzen lauten 1 und 2!!
Was bekommst du denn für a raus?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!
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Hallo Thome!
Durch Probieren erhalte ich als einzige Lösung den Wert $a \ = \ 0$ !
Inwieweit das nun sinnvoll für diese Aufgabenstellung sit, sei mal dahin gestellt.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Di 04.07.2006 | | Autor: | Thome |
Hmm
komisch!
das einzige was der Prof noch mit Bleistift daneben geschrieben hat ist y=0,7 ich weiß aber nicht was das mit der Aufgabe zu tun hat!
Ich habe nochmal nachgeschaut es ist genau die Aufgabe
[mm] \integral_{1}^{2} e^a^xdx [/mm] = 1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:22 Di 04.07.2006 | | Autor: | Desiderius |
Hallo!
Zu erst etwas für Roadrunner: Wie kannst du auf die Lösung a=0 kommen?
Dann müsstest du ja auch durch Null dividieren, was ja bekanntlich nicht erlaubt ist, ganz davon abgesehen, dass die Funktion, die die Abhängigkeit der Fläche von a beschreibt, an der Stelle Null nicht definiert ist.
So jetzt aber zu der Aufgabe. Ich habe es genauso gemacht wie M.Rex und hatte dann die Funktion:
[mm] \bruch{1}{a}*(e^{2a}-e^{a})=1 [/mm] oder, wenn man die 1 subtrahiert
[mm] \bruch{1}{a}*(e^{2a}-e^{a})-1=0
[/mm]
(Diese Funktionen beschreiben den Flächeninhalt in Abhängigkeit von a und wie du sehen kannst, kann a nicht Null werden, weil man im ersten Ausdruck dann durch Null teilen müsste.
Und eine solche Funktion kann man nicht mehr berechen,man muss schon andere Mittel finden wie einen Taschenrechner oder ähnliche Sachen, da die Variable in einem Exponenten und "normal" vorkommt und da habe ich die Funktion mal zeichen lassen und zwar bei:
http://www.mathe-fa.de/de (sry hab es nicht als anklickbare URL hinbekommen)
und da hab ich in eine Funktionszeile folgendes eingetippt:
(1/x)*(e^(2*x)-e^(x))-1 (sry ich wusste nicht wie man Datein anhängen kann, sonst hätte ich den Graphen einfach angehänt, aber jetzt müsst ihr euch die Funktion selber zeichnen lassen. wer weiß wie das mit dem Dateianhang geht, der kann mir ja ne Nachricht schreiben.)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wenn man sich den Graphen ansieht, dann scheint die einzig mögliche Nullstelle an der Stelle x=0 zu sein. Sieht man aber in die Wertetabelle, dann erkennt man, dass die Funktion an der Stelle x=0 nicht definert ist, demnach gibt es meiner Meinung nach keine Lösung für a, für die der Flächeninhalt 1 wird. Sollte ich mich täuschen dann würde ich mich freuen, wenn mich jemand berichtigt.
mfg
P.S:
Wie ihr es seht habe ich es doch geschafft das Bild als Anhang hochzuladen, also müsst ihr mir doch keine Nachricht schreiben.
Auf dem Bild sieht man halt den Funktionsgrafen.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:51 Di 04.07.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
Ihr müsst hier natürlich beachten, dass für a=0 eine andere Stammfunktion herauskommt, denn das Intergral wird dann ja zu [mm]\integral_1^2 dx = [x]_1^2 = 1[/mm]. Damit würde also das Ergebnis von roadrunner passen!
Gruß
piet
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 Di 04.07.2006 | | Autor: | chrisno |
Hallo ihr Diskutanten,
Das ist eine Aufgabe, die ein weing Vertrautheit mit der Exponentialfunktion vorsieht und nicht Rechentechnik.
[mm] $e^{ax}$ [/mm] nimmt für $x=0$ den Wert 1 an. Für $a>0$ steigt sie danach monoton, ist also immer größer als 1. Daher muß dann das Integral auch größer als 1 werden. Für $a<0$ wird entsprechend das Integral immer kleiner als 1. Also hilft nur $a=0$ weiter, dann reduziert sich der Integrand auf 1 und die zugehörige Fläche ist auch 1.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:45 Mi 05.07.2006 | | Autor: | Auric |
Hast recht chrisno. Wenn man das jetzt Mathematisch ausdrücken will, könnte man das mit lim machen mit lim a -> 0
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