integrierenden Faktor für DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Finden Sie einen integrierenden Faktor für die folgende DGL (exakt), der nur von y abhängt und lösen sie die DGL danach explizit.
[math] e^x-e^{-y^2}+2ye^xy'=0 [/math] |
hallo,
ich habe hier ein Problem. In meiner Formelsammlung habe ich zwar die entsprechende Formel für die Lösung gefunden:
[math] F= \bruch{Q_x- P_y}{P} [/math]
ich definiere also [math] P:= e^x-e^{-y^2}[/math] und [math] Q:=2ye^2 [/math]
nur was setzte ich für [math] Q_x [/math] bzw. [math] P_y [/math] ein? Hab schon ein paar Varianten versucht komme aber auf kein vernünftiges Ergebnis.
es soll 2y herauskommen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:27 Fr 19.02.2010 | | Autor: | gfm |
Da ich das mit dem integr. Faktor explizit nicht mehr auf dem Schirm hatte, habe ich einfach in die Wiki geschaut (http://de.wikipedia.org/wiki/Exakte_Differentialgleichung, das kann sich manchmal echt lohnen :)):
[mm] p(x,y(x))+q(x,y(x))\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=0
[/mm]
Du suchts ein [mm] \mu(x,y), [/mm] sodaß
[mm] \mu(x,y)p(x,y)+\mu(x,y)q(x,y)\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=0
[/mm]
exakt wird.
Das ist der Fall, wenn
[mm] \frac{\partial (\mu{}p)}{\partial y}=\frac{\partial (\mu{}q)}{\partial x}
[/mm]
gilt. Mehr noch: Du sollst ein [mm] \mu(x,y)=:\mu(y) [/mm] suchen, dass nur von y abhängt [mm] (q_x [/mm] und [mm] p_y [/mm] sind die partiellen Ableitungen nach x und y).
Und da sagt Wiki, dass, wenn es ein g(y) gibt mit
[mm] \left[\frac{\partial q}{\partial x}-\frac{\partial p}{\partial y}\right](x,y)=g(y)p(x,y)
[/mm]
gibt, führe μ'(y)=g(y)μ(y) zum Ziel.
Für g(y) sollte 2y herauskommen, wenn ich das richtig sehe. Dann mußt Du noch die DGL für [mm] \mu [/mm] lösen und dann hast du einen integr. Faktor.
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:38 Fr 19.02.2010 | | Autor: | Aldiimwald |
ahhh danke, dass das die partiellen Ableitungen sind, darauf bin ich nicht gekommen, der Rest ist mir klar!
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