interpolationsformel < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:58 Mo 22.04.2013 | | Autor: | ikatih |
| Aufgabe | Sei f : [mm] [0;\pi [/mm] ] [mm] \IR, [/mm] f(x) = sin x, die Punkte x0; : : : ; x9 seien gleichverteilt in [mm] [0;\pi [/mm] ]
und P(f|x0; : : : ; x9) sei das zugehörige Interpolationspolynom. Geben Sie eine einfache
Fehlerabschätzung für den Interpolationsfehler auf [mm] [0;\pi [/mm] ] an. |
ich weiß leider nicht, wie ich hier anfangen soll. Kann mir vielleicht jemand helfen =)
LG
|
|
| |
|
Hallo,
> Sei f : [mm][0;\pi[/mm] ] [mm]\IR,[/mm] f(x) = sin x, die Punkte x0; : : :
> ; x9 seien gleichverteilt in [mm][0;\pi[/mm] ]
> und P(f|x0; : : : ; x9) sei das zugehörige
> Interpolationspolynom. Geben Sie eine einfache
> Fehlerabschätzung für den Interpolationsfehler auf
> [mm][0;\pi[/mm] ] an.
> ich weiß leider nicht, wie ich hier anfangen soll. Kann
> mir vielleicht jemand helfen =)
Evtl. habt ihr in der Vorlesung Formeln zur Fehlerabschätzung gehabt?
Die bekannteste Formel ist diese hier:
![[]](/images/popup.gif) Fehlerabschätzung
Da kannst du die Angabe aus der Aufgabe einsetzen!
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Mo 22.04.2013 | | Autor: | ikatih |
ja genau, aber irgendwie kann ich mit der Formel nicht viel anfangen. Im Skript ist es nicht ausführlich erklärt =(
|
|
|
| |
|
Hallo,
> ja genau, aber irgendwie kann ich mit der Formel nicht viel
> anfangen. Im Skript ist es nicht ausführlich erklärt =(
Also nehmen wir mal die Formel her:
------
$f$ wird an Stellen [mm] $x_0,...,x_n$ [/mm] auf [a,b] interpoliert durch ein Interpolationspolynom P vom Grad n.
Dann gilt:
$|f(x) - P(x)| [mm] \le \frac{\sup_{y\in [a,b]}|f^{(n+1)}(y)|}{(n+1)!}\cdot \prod_{i=0}^{n}|x_i [/mm] - x|$. (*)
Links steht der Interpolationsfehler an der Stelle x. Diese Gleichung liefert also eine Abschätzung des Interpolationsfehlers.
------
Nun deine Aufgabenstellung (in kondensierter Form):
$f(x) = [mm] \sin(x)$ [/mm] auf Intervall [0, [mm] \pi], x_0,...,x_9 [/mm] gleichverteilte Stützstellen auf [0, [mm] \pi]. [/mm] Gesucht ist Abschätzung des Interpolationsfehlers des Interpolationspolynoms P.
Nun überlege dir doch mal, was zum Beispiel "n" in der obigen Formel ist, und was ist [a,b]. Dann kannst du auch schonmal [mm] $\frac{\sup_{y\in [a,b]}|f^{(n+1)}(y)|}{(n+1)!}$ [/mm] berechnen.
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 Mo 22.04.2013 | | Autor: | ikatih |
n ist doch die ableitung oder nicht, also n mal differenzierbar
[a;b] sind doch meine Grenzen (0; [mm] \pi [/mm] ) oder ??
Tut mir Leid, ich weiß, dass die ganz leicht ist, aber durch die ganzen Formeln komm ich voll durcheinander. Und bei dieser hier, habe ich nicht mal eine Beispielaufgabe, wo ich es nachvollziehen kann.
|
|
|
| |
|
Hallo,
> n ist doch die ableitung oder nicht, also n mal
> differenzierbar
???
n ist zunächst einfach eine Zahl!
Und in der Beschreibung zur Formel steht: Seien [mm] $x_0,...,x_n$ [/mm] die Stützstellen.
Du hast [mm] $x_0,...,x_9$ [/mm] als Stützstellen.
Also ist n = 9.
(n ist somit einfach die Anzahl der Stützstellen Minus 1)
> [a;b] sind doch meine Grenzen (0; [mm]\pi[/mm] ) oder ??
Genau.
--> In der Formel kommt nun einmal (n+1)! vor. Das kannst du nun schon berechnen.
--> Nun kommt da noch [mm] $f^{(n+1)}$ [/mm] vor, du hast schon erkannt dass es sich um eine Ableitung handelt.
Bei dir ist $f(x) = [mm] \sin(x)$, [/mm] und [mm] $f^{(n+1)} [/mm] = [mm] f^{(10)}$ [/mm] ist somit die 10. Ableitung vom Sinus.
Was ist die 10. Ableitung vom Sinus?
Durch welche einfache Zahl kannst du also [mm] $\sup_{y \in [0,\pi]}|f^{(n+1)}(y)|$ [/mm] abschätzen?
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
|
