invarianter Unterraum < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | [mm] \textbf{Voraussetzungen:}
[/mm]
V Vektorraum mit Basis [mm] \{v_{1},...,v_{n}\}. v=\overset{}{\underset{i}{\sum}}v_{i}. f:V\rightarrow [/mm] V lineare Abbildung. Außerdem ist jedes [mm] v_{i} [/mm] ein Eigenvektor mit Eigenwert [mm] \lambda_{i}.
[/mm]
Folgende Aussagen sind äquivalent (zu zeigen):
(1) Die Elemente [mm] \lambda_{1},...,\lambda_{n} [/mm] sind paarweise verschieden.
(2) Ist U Unterraum von V mit [mm] v\in [/mm] U und [mm] f(U)\subseteq [/mm] U, dann ist U=V.
(3) [mm] v,f(v),...,f^{n-1}(v) [/mm] bilden Basis von V. |
Hallo,
ich möchte bei dieser Aufgabe folgenden Ringschluss zeigen: [mm] (1)\Rightarrow(2)\Rightarrow(3)\Rightarrow(1).
[/mm]
Dabei bin ich mir aber noch sehr unsicher.
Zu [mm] (1)\Rightarrow(2):
[/mm]
Was sind hierbei die Vorausssetzungen genau? Ich finde (2) ist etwas unglücklich ausgedrückt. Ich nehme mal an, dass ich für diese Richtung neben der paarweisen Verschiedenheit von [mm] \lambda_{1},...,\lambda_{n} [/mm] noch voraussetze, dass gilt: U Unterraum von V mit [mm] v\in [/mm] U und [mm] f(U)\subseteq [/mm] U. Und dann soll ich zeigen U=V oder?
Diese Richtung finde ich am problematischten.
Zu [mm] (2)\Rightarrow(3).
[/mm]
Hier nehme ich also an, dass U f-invariant ist. Da U=V, ist V ebenfalls f [mm] invariant\Rightarrow f(V)\subseteq [/mm] V. [mm] v\in U\Rightarrow v\in [/mm] V.
Jetzt ist [mm] v=\underset{i}{\sum}v_{i} [/mm] und die [mm] v_{i} [/mm] sind alle linear unabhängig. Ich weiß aufgrund der Invarianz noch, dass [mm] f(v)\in [/mm] V ist.
Irgendwie fehlt mir hier aber der entscheidende Schritt, um argumentieren zu können, dass [mm] v,f(v),...,f^{n-1}(v) [/mm] linear unabhängig sind.
Nur mal eine Frage, die hier wahrscheinlich garnicht relevant ist, aber trotzdem: Wenn ich alle Eigenvektoren addiere, erhalte ich dann wieder einen EV? Also ist v ein EV?
Wie komme ich hier weiter?
Zu [mm] (3)\Rightarrow(1).
[/mm]
Ich weiß nicht ganz genau, wie ich bei [mm] v,f(v),...,f^{n-1}(v) [/mm] die [mm] \lambda_{i} [/mm] mit ins Spiel bringe.
Also eine Menge Fragen, wie man sieht. Ich hoffe mir kann irgendjemand einige Tipps geben.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:27 So 10.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> ich möchte bei dieser Aufgabe folgenden Ringschluss zeigen:
> [mm](1)\Rightarrow(2)\Rightarrow(3)\Rightarrow(1).[/mm]
Nachdem ich es mir angeschaut habe, finde ich tatsächlich [m](1)\gdw (3)\gdw (2)[/m] am leichtesten, jedenfalls sehe ich hier, wie man das macht. :)
> Was sind hierbei die Vorausssetzungen genau? Ich finde (2)
> ist etwas unglücklich ausgedrückt. Ich nehme mal an, dass
> ich für diese Richtung neben der paarweisen Verschiedenheit
> von [mm]\lambda_{1},...,\lambda_{n}[/mm] noch voraussetze, dass
> gilt: U Unterraum von V mit [mm]v\in[/mm] U und [mm]f(U)\subseteq[/mm] U. Und
> dann soll ich zeigen U=V oder?
Also es ist schon richtig ausgedrückt: unter den Vorraussetzungen von (1) (und der Aufgabe) solslt zu zeigen: Wenn ich einen f-invarianten Unterraum habe mit [m]v\in U[/m], dann ist er schon V. Das ist eine Implikation, die du mit (1) zeigen kannst/sollst.
> Diese Richtung finde ich am problematischten.
Ich sehe keine direkte Möglichkeit, vielleicht andere?
> Zu [mm](2)\Rightarrow(3).[/mm]
>
> Hier nehme ich also an, dass U f-invariant ist. Da U=V, ist
> V ebenfalls f [mm]invariant\Rightarrow f(V)\subseteq[/mm] V. [mm]v\in U\Rightarrow v\in[/mm]
> V.
Aha, welches U? In (3) gibt es so eins nicht, ich würde ja [m]U=[/m] setzen. Und hierrauf kann ich ja (2) anwenden. Was du da machst? Keine Ahnung ...
> Jetzt ist [mm]v=\underset{i}{\sum}v_{i}[/mm] und die [mm]v_{i}[/mm] sind alle
> linear unabhängig. Ich weiß aufgrund der Invarianz noch,
> dass [mm]f(v)\in[/mm] V ist.
???
> Irgendwie fehlt mir hier aber der entscheidende Schritt, um
> argumentieren zu können, dass [mm]v,f(v),...,f^{n-1}(v)[/mm] linear
> unabhängig sind.
(2) verwenden. Auf der anderen Seite kann man aus der (3) doch sehr schnell die (2) folgern.
> Nur mal eine Frage, die hier wahrscheinlich garnicht
> relevant ist, aber trotzdem: Wenn ich alle Eigenvektoren
> addiere, erhalte ich dann wieder einen EV? Also ist v ein
> EV?
Nein, tust du nicht.
> Zu [mm](3)\Rightarrow(1).[/mm]
>
> Ich weiß nicht ganz genau, wie ich bei
> [mm]v,f(v),...,f^{n-1}(v)[/mm] die [mm]\lambda_{i}[/mm] mit ins Spiel bringe.
Du kannst die Vektoren bzgl. der Basis [m]\{v_i\}[/m] in eine Matrix schreiben, wenn du dies richtig tust, erhälst du eine ![[]](/images/popup.gif) Vandermonde-Determinante. Damit ist dann aber (1) und (3) äquivalent.
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:51 So 10.05.2009 | | Autor: | felixf |
Moin SEcki,
> > ich möchte bei dieser Aufgabe folgenden Ringschluss zeigen:
> > [mm](1)\Rightarrow(2)\Rightarrow(3)\Rightarrow(1).[/mm]
>
> Nachdem ich es mir angeschaut habe, finde ich tatsächlich
> [m](1)\gdw (3)\gdw (2)[/m] am leichtesten, jedenfalls sehe ich
> hier, wie man das macht. :)
Also ich wuerd (1) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] (2) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] (3) [mm] $\Rigtharrow$ [/mm] (1) zeigen. Fuer (3) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] (1) ... ah sehe gerade, das hast du ja unten schon beschrieben.
> > Diese Richtung finde ich am problematischten.
>
> Ich sehe keine direkte Möglichkeit, vielleicht andere?
Nun, da $U$ $f$-invariant ist definiert [mm] $f|_U$ [/mm] einen Endomorphismus auf $U$. Dessen char. Polynom teilt das von $f$, womit es eine Teilmenge $I [mm] \subseteq \{ 1, \dots, n \}$ [/mm] gibt so, dass [mm] $\{ \lambda_i \mid i \in I \}$ [/mm] die Eigenwerte von [mm] $f|_U$ [/mm] sind. Die Eigenraeume sind eindimensional, womit [mm] $Eig(f|_U, \lambda_i) [/mm] = Eig(f, [mm] \lambda_i)$ [/mm] gelten muss fuer $i [mm] \in [/mm] I$; es ist sogar $U = [mm] \bigoplus_{i\in I} Eig(f|_U, \lambda_i) [/mm] = [mm] \bigoplus_{i\in I} [/mm] Eig(f, [mm] \lambda_i)$ [/mm] da [mm] $f|_U$ [/mm] diagonalisierbar ist (ebenso wie $f$ selber). In dem Fall kann aber nur $v [mm] \in [/mm] U$ sein, wenn $I = [mm] \{ 1, \dots, n \}$ [/mm] ist, da $V = [mm] \bigoplus_{i=1}^n [/mm] Eig(f, [mm] \lambda_i)$ [/mm] ist und $v$ in dieser direkten Summe in jeder Komponente einen nicht-trivialen Eintrag hat.
> > Zu [mm](2)\Rightarrow(3).[/mm]
> >
> > Hier nehme ich also an, dass U f-invariant ist. Da U=V, ist
> > V ebenfalls f [mm]invariant\Rightarrow f(V)\subseteq[/mm] V. [mm]v\in U\Rightarrow v\in[/mm]
> > V.
>
> Aha, welches U? In (3) gibt es so eins nicht, ich würde ja
> [m]U=[/m] setzen. Und hierrauf kann ich ja
> (2) anwenden. Was du da machst? Keine Ahnung ...
Sehe ich genauso. Man sieht schnell dass diese Wahl von $U$ $f$-invariant ist, und $v$ liegt auch drinnen. Also folgt aus (2), dass $U = V$ gilt.
> > Nur mal eine Frage, die hier wahrscheinlich garnicht
> > relevant ist, aber trotzdem: Wenn ich alle Eigenvektoren
> > addiere, erhalte ich dann wieder einen EV? Also ist v ein
> > EV?
>
> Nein, tust du nicht.
Man kann das sogar noch schaerfer ausdruecken: Das ist genau dann wieder ein Eigenvektor, wenn alle Eigenwerte gleich sind. Das ist in der Situation der Aufgabe nur fuer $n = 1$ der Fall.
> > Zu [mm](3)\Rightarrow(1).[/mm]
> >
> > Ich weiß nicht ganz genau, wie ich bei
> > [mm]v,f(v),...,f^{n-1}(v)[/mm] die [mm]\lambda_{i}[/mm] mit ins Spiel bringe.
>
> Du kannst die Vektoren bzgl. der Basis [m]\{v_i\}[/m] in eine
> Matrix schreiben, wenn du dies richtig tust, erhälst du
> eine
> Vandermonde-Determinante.
> Damit ist dann aber (1) und (3) äquivalent.
Genau so ist es...
LG Felix
|
|
|
| |
|
Hallo,
erstmal danke für die bisherige Hilfe.
Ich hab nur das Gefühl, dass es bei den einzelnen Beweisen etwas durcheinander geht.
Ich habe 2 Alternativen:
entweder ich zeige (1) [mm] \Rightarrow [/mm] (2) [mm] \Rightarrow [/mm] (3) [mm] \Rightarrow [/mm] (1) oder [mm] (1)\Rightarrow (3)\Rightarrow (2)\Rightarrow [/mm] (1).
Ich habe nun bereits die Richtung [mm] (3)\Rightarrow [/mm] (2).
Nun noch einmal zu [mm] (3)\Rightarrow [/mm] (1). Der Tipp war die Vektoren [mm] v,f(v),...,f^{n-1}(v) [/mm] bzgl. der Basis [mm] {v_i} [/mm] in eine Matrix zu schreiben. Wie mache ich das genau? Ich weiß letztenendes doch garnicht was f macht, sondern nur, dass v,f(v) usw. linear unabhängig sind.
Und nun zu [mm] (2)\Rightarrow [/mm] (1). Ich müsste genau diese Implikation zeigen, damit mein Ringschluss passt. Deswegen hilft mir der Tipp leider nicht so richtig weiter. Ich muss also haben, wenn U=V und U f-invariant dann folgt, dass alle [mm] \lambda_i [/mm] paarweise verschieden sind.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Di 12.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
