inverse einer oberen dreiecksm < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:47 Fr 20.10.2006 | | Autor: | Riley |
Hallo!
ich würde gerne beweisen, dass das das inverse einer (invertierbaren) oberen dreiecksmatrix wieder eine obere dreiecksmatrix ist.
meine frage dazu: kann man das mit hilfe von determinanten zeigen? oder geht es nur über den eher "direkten" weg mit hilfe von gauß-algo oder indem man hier AX=I spalte für spalte betrachtet'?
viele grüße
riley
ps: schon gefragt: www.matheboard.de
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Hallo Riley,
> Hallo!
> ich würde gerne beweisen, dass das das inverse einer
> (invertierbaren) oberen dreiecksmatrix wieder eine obere
> dreiecksmatrix ist.
> meine frage dazu: kann man das mit hilfe von determinanten
> zeigen? oder geht es nur über den eher "direkten" weg mit
> hilfe von gauß-algo oder indem man hier AX=I spalte für
> spalte betrachtet'?
Ehrlich gesagt weiß ich nicht, wie du das mit Determinanten zeigen willst. Das Einzige, was mir in Bezug auf Determinanten da einfällt ist, dass die Determinante einer Dreiecksmatrix das Produkt der Diagonalelemente ist. Aber das ist auch bei einer unteren Dreiecksmatrix der Fall und auch bei Diagonalmatrizen. Wie wolltest du es denn damit zeigen?
Und das andere, was du vorschlägst, ist mir auch nicht ganz klar. Ich würde ansetzen mit:
[mm] \pmat{a&b&c\\0&d&e\\0&0&f}*\pmat{g&h&i\\j&k&l\\m&n&o}=\pmat{1&0&0\\0&1&0\\0&0&1}
[/mm]
Weiß allerdings gerade auch nicht, ob das so hinhaut und es kann durchaus sein, dass es eleganter geht. Nur wüsste ich gerade nicht, wie...
viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Sa 21.10.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Bastiane!
hatte mir das so überlegt:
[mm] \begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} & a_{13} \\0& a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0& a_{33} \end{pmatrix} [/mm] * X = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\0& 1 & 0 \\ 0 & 0& 1 \end{pmatrix}
[/mm]
eine obere dreiecksmatrix kann ja nur invertierbar sein, wenn auf der diagonalen keine nuller stehen, oder?
auf jeden fallbekommt man dann mit der matrixmulti, falls ich das so richtig gemacht habe:
[mm] a_{11} x_{11} [/mm] + [mm] a_{12} x_{21}+a_{13} x_{31} [/mm] =1
0* [mm] x_{11} [/mm] + [mm] a_{22} x_{21} [/mm] + [mm] a_{23} x_{31} [/mm] = 0
[mm] 0*x_{11} [/mm] + [mm] 0*x_{21} [/mm] + [mm] a_{33}x_{31} [/mm] = 0
d.h. [mm] a_{33} [/mm] = 0 oder [mm] x_{31} [/mm] =0
wenn man davon ausgeht dass die [mm] a_{ii} \not= [/mm] 0erhält man weiter: [mm] x_{21} [/mm] = 0
und [mm] x_{11} [/mm] = [mm] \frac{1}{a_{11}} [/mm]
damit erhält man als erste spalte von x: [mm] \begin{pmatrix} \frac{1}{a_{11}} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]
... usw halt, wobei mir nicht klar ist, wie ich das dann für nxn aufschreiben sollte... ?
wegen der determinanten, ich weiß leider auch nict wie genau, aber in der VL hat meine professorin das erwähnt, dass man das diese baehaputung ja vielleicht mit der cramerschen regel zeigen könnte. nur wie genau, keine ahnung...
viele grüße
riley
edit: ... das hat sich mit ullims hilfe dann eigentlich erledigt!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:14 Sa 21.10.2006 | | Autor: | ullim |
Hi Riley,
ich würde das mit Hilfe des Kästchenmultiplikationssatz für Matrizen beweisen.
I) n=2
[mm] X=\pmat{ a & b \\ 0 & c }, [/mm] da X regulär ist, ist [mm] a,c\ne0 [/mm] und
[mm] X^{-1}=\bruch{1}{ac}\pmat{ c & -b \\ 0 & a } [/mm] also eine Oberedreiecksmatrix.
II) Sei X jetzt eine (n+1)x(n+1) Oberedreiecksmatrix. X kann zerlegt werden in eine Matrix mit folgendem Aussehen.
[mm] X=\pmat{ A & B \\ C & D } [/mm] und
A ist nxn Oberedreiecksmatrix
C ist 1xn Nullmatrix
D ist eine 1x1 Matrix ungleich Null (als eine reele Zahl)
Gesucht ist eine Matrix Y mit X*Y=I
Sei [mm] Y=\pmat{ E & F \\ G & H }
[/mm]
[mm] X*Y=\pmat{ AE+BG & AF+BH \\ CE+DG & CF+DH } [/mm] nach dem Kästchenmultiplikationssatz für Matrizen.
Wenn [mm] Y=X^{-1} [/mm] gelten soll, muss gelten
CE+DG=0, da C=0 gilt folgt DG=0. Mit [mm] D\ne0 [/mm] folgt G=0.
Da A schon Oberedreiecksmatrix ist und G=0 gilt, ist Y Oberedreiecksmatrix.
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Sa 21.10.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Ullim!
sorry, hab dein eintrag grad erst entdeckt, das ist cool, vielen dank für deine erklärungen, that's great!! =)
hab aber noch ein paar fragen dazu:
B ist dann eine nx1 -matrix, damit es passt, oder?
und wie sehen die kästchen von Y aus, haben sie die gleiche größe wie die von X, nur weiß man die einträge am anfang noch nicht ?
aber wie haut das dann mit der multiplikation von X und Y hin, dass man jeweils die kästchen multiplizieren kann?
und warum braucht man am ende nochmal das argument, dass A schon obere dreiecksmatrix ist?'? also wieso langt es nicht zu sagen G=0 ?
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:21 Sa 21.10.2006 | | Autor: | ullim |
> Hi Ullim!
> sorry, hab dein eintrag grad erst entdeckt, das ist cool,
> vielen dank für deine erklärungen, that's great!! =)
> hab aber noch ein paar fragen dazu:
> B ist dann eine nx1 -matrix, damit es passt, oder?
Genau.
> und wie sehen die kästchen von Y aus, haben sie die
> gleiche größe wie die von X, nur weiß man die einträge am
> anfang noch nicht ?
Genau.
> aber wie haut das dann mit der multiplikation von X und Y
> hin, dass man jeweils die kästchen multiplizieren kann?
>
Durch überprüfen der einzelnen Matrizenprodukte von X*Y sieht man, dass die Dimensionen bei der Multiplikazion immer stimmen, wenn man die Zerlegung von Y so wählt, wie Du festgestellt hast.
> und warum braucht man am ende nochmal das argument, dass A
> schon obere dreiecksmatrix ist?'? also wieso langt es nicht
> zu sagen G=0 ?
>
Es könnte ja sein, dass [mm] Y_{11}=E [/mm] in Y nicht obere Dreicksmatrix ist.
Da G=0 gilt folgt, es muss glten AE=I, und hier kann man als Induktionsschritt folgern [mm] E=A^{-1} [/mm] ist obere Dreicksmatrix.
> viele grüße
> riley
>
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Sa 21.10.2006 | | Autor: | Riley |
hm, okay, aber das letzte mit dem induktionsschritt ist mir noch nicht klar.
dass AE = I gelten muss seh ich jetzt auch, aber warum kann man dann als induktionsschritt folgern, dass [mm] A^{-1} [/mm] = E obere Dreiecksmatrix ist? denn
da benutze ich doch dann eigentlich das was ich zeigen will, oder?
viele grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:58 So 22.10.2006 | | Autor: | ullim |
Hi Reley,
für n=2 haben wir gezeigt das [mm] X^{-1} [/mm] eine obere Dreiecksmatrix ist.
Die Induktionsannahme ist, das [mm] X^{-1} [/mm] für n beliebig ebenfalls eine obere Dreiecksmatrix ist.
Die Induktionsbehauptung ist, das daraus für die (n+1)x(n+1) Matrix X folgt, das [mm] Y=X^{-1} [/mm] auch eine obere Dreiecksmatrix ist.
Für den Induktionsschluss haben wir die (n+1)x(n+1) Matrix X in Kästchenmatrizen zerlegt und gezeigt, das für die Teilmatrix E aus [mm] Y=X^{-1}, E=A^{-1} [/mm] gelten muss. Die Inverse existiert, weil alle Diagonalelemente der Matrix [mm] A\ne0 [/mm] sind. Weil A eine nxn obere Dreiecksmatrix ist, folg aus der Induktionsannahme , das [mm] E=A^{-1} [/mm] ist eine obere Dreiecksmatrix ist. Zusätzlich haben wir gezeigt das G=0 ist. Für H gilt, [mm] H=\bruch{1}{D}, D\ne0. [/mm] Deshalb ist Y eine obere Dreiecksmatrix mit Diagonalelemente alle [mm] \ne0.
[/mm]
mfg ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:38 So 22.10.2006 | | Autor: | Riley |
HI Ullim!
besten dank für deine erklärung, jetzt hab ichs verstanden!! :)
vielen dank!
gruß riley´
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