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Forum "z-transformation" - inverse z-Transformation
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inverse z-Transformation: Frage zur Rücktransformation
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:56 So 12.01.2014
Autor: MrTob

Aufgabe
Bestimmten Sie die inverse Z-Transformation von:
[mm] H(z)=\bruch{1+4*z^{-1}+6*z^{-2}-z^{-3}}{1+4*z^{-1}+5*z^{-2}+2*z^{-3}} [/mm]




Hallo Leute,
ich hab mal ne Frage, weil ich mir nicht sicher bin und grad ein bisschen verwirrt. Hab zunächst den bruch mit [mm] z^{3} [/mm] erweitert   [mm] H(z)=\bruch{z^{3}+4*z^{2}+6*z-1}{z^{3}+4*z^{2}+5*z+2} [/mm]
und dann partialbruch zerlegt in [mm] H(z)=\bruch{3}{z+2}+\bruch{1}{z+1}-\bruch{3}{(z+1)^{2}} [/mm] . Jetzt meine Frage: Gibt es eine einfache Rücktransformation (Korrespondenz) für H(z)? Alle Korrespondenzen die bei mir im Skript stehen haben ein z im Zähler.  Allerdings hab ich was (mir schleierhaftes) gefunden mit [mm] \bruch{A_{i}}{z-\alpha_{i}} \mapsto A_{i}*\alpha_{i}^{k-1} [/mm] (wobei [mm] \mapsto [/mm] die Rücktransfomation bedeuten soll und sich die Formal auf einen Partialbruch bezieht) . Wäre meine Lösung dann [mm] -3*2^{k-1}-1^{k-1}+3*(k-1)*1^{k-1} [/mm] ? Wäre echt nett wenn ihr mir helfen könntet! Danke schonmal

Editiert:
Ich habe nochmal einen Anlauf versucht. Die Korrespondenz [mm] a^{k}*\partial(k) \to \bruch{z}{z-a} [/mm] wäre doch in meinem Fall anwendbar für [mm] z^{-1}*H(z) [/mm] oder? ( wobei [mm] \partial(k) [/mm] die Haevisidefunktion sein soll)  Dann wär h(k) ohne Verschiebung= [mm] 3*(-2)^{k}*\partial(k)+1*(-1)^{k}*\partial(k)+3*(-1)^{k}*k*\partial(k). [/mm]
Und mit der Verschiebung [mm] z^{-1} [/mm] [mm] h(k)=3*(-2)^{k-1}*\partial(k-1)+1*(-1)^{k-1}*\partial(k-1)+3*(-1)^{k-1}*(k-1)*\partial(k-1) [/mm] , oder?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
inverse z-Transformation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:29 So 12.01.2014
Autor: Valerie20


> Bestimmten Sie die inverse Z-Transformation von:

>

> [mm]H(z)=\bruch{1+4*z^{-1}+6*z^{-2}-z^{-3}}{1+4*z^{-1}+5*z^{-2}+2*z^{-3}}[/mm]

>
>

> Hallo Leute,
> ich hab mal ne Frage, weil ich mir nicht sicher bin und
> grad ein bisschen verwirrt. Hab zunächst den bruch mit
> [mm]z^{3}[/mm] erweitert
> [mm]H(z)=\bruch{z^{3}+4*z^{2}+6*z-1}{z^{3}+4*z^{2}+5*z+2}[/mm]
> und dann partialbruch zerlegt in
> [mm]H(z)=\bruch{3}{z+2}+\bruch{1}{z+1}-\bruch{3}{(z+1)^{2}}[/mm] .

[ok]

Ich habe es nicht nachgerechnet. Es sieht aber gut aus.

> Jetzt meine Frage: Gibt es eine einfache
> Rücktransformation (Korrespondenz) für H(z)?

Nein. Die gibt es nicht.

> Korrespondenzen die bei mir im Skript stehen haben ein z im
> Zähler. Allerdings hab ich was (mir schleierhaftes)

Neben den Korrespondenzen der z-Transformation, gilt es auch immer die Sätze der z-Transformation zu beachten.

In deinem Fall wäre dies der sogenannte Verschiebungssatz.

Nehmen wir einmal den ersten Term aus H(z):

[mm]\frac{3}{z+2}[/mm]

Dies kann man auch so schreiben:

[mm]\frac{1}{z}\cdot\frac{3\cdot z}{z+2}[/mm]

Nun den Verschiebungssatz anwenden:

[mm]z^{-\gamma}X(z)[/mm] im z-Bereich wird zu [mm]x[k-\gamma][/mm][mm] [/mm]

im diskreten Bereich.

Daraus folgt für dich:

[mm]\frac{3}{z+2}=\frac{1}{z}\cdot\frac{3\cdot z}{z+2} [/mm] im z-Beriech wird zu

[mm]x[k-\gamma]=(-2)^{k-1}\cdot \epsilon[k-1][/mm]

im diskreten Bereich.

Wobei der Konvergenzbereich: $|z|>|-2|=2$ ist.

Bezug
                
Bezug
inverse z-Transformation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:37 So 12.01.2014
Autor: MrTob

Vielen Dank Valerie! Bin zufällig grad auf die gleiche Idee gekommen. :)
Könntest du kurz nochmal über meine Lösung schauen (hab ich in die Frage geschrieben). Müsste doch dann so stimmen oder? Vielen Dank nochmal!

Bezug
                        
Bezug
inverse z-Transformation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:28 So 12.01.2014
Autor: MathePower

Hallo MrTob,


[willkommenmr]


> Vielen Dank Valerie! Bin zufällig grad auf die gleiche
> Idee gekommen. :)
> Könntest du kurz nochmal über meine Lösung schauen (hab
> ich in die Frage geschrieben). Müsste doch dann so stimmen
> oder? Vielen Dank nochmal!


Die Partialbruchzerlegung von H(z) stimmt nicht.


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
inverse z-Transformation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:05 Mo 13.01.2014
Autor: MrTob

Aah, danke! Hab nicht beachtet, dass Zählergrad > Nennergrad :)
Neuer Versuch:
Nach Polynomdivision hab ich [mm] 1+\bruch{z-3}{z^{3}+4*z^{2}+5*z+2} [/mm] .
Das partialbruch zerlegt ergibt [mm] 1+\bruch{7}{z+2}-\bruch{3}{z+1}-\bruch{4}{(z+1)^2}. [/mm] Jetzt müsste die Rücktransformation lauten:
[mm] h(k)=\delta(k-1)+7*(-2)^{k-1}*\partial(k-1)-3*(-1)^{k-1}*\partial(k-1)-3*(-1)^{k-1}*\partial(k-1)+4*(-1)^{k-1}*(k-1)*\partial(k-1) [/mm] ? (mit [mm] \partial [/mm] = Heavisidefunktion)

Bezug
                                        
Bezug
inverse z-Transformation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:12 Mo 13.01.2014
Autor: Valerie20


> Aah, danke! Hab nicht beachtet, dass Zählergrad >
> Nennergrad :)
> Neuer Versuch:
> Nach Polynomdivision hab ich
> [mm]1+\bruch{z-3}{z^{3}+4*z^{2}+5*z+2}[/mm] .
> Das partialbruch zerlegt ergibt
> [mm]1+\bruch{7}{z+2}-\bruch{3}{z+1}-\bruch{4}{(z+1)^2}.[/mm] Jetzt
> müsste die Rücktransformation lauten:

>

> [mm]h(k)=\delta(k-1)+7*(-2)^{k-1}*\partial(k-1)-3*(-1)^{k-1}*\partial(k-1)-3*(-1)^{k-1}*\partial(k-1)+4*(-1)^{k-1}*(k-1)*\partial(k-1)[/mm]
> ? (mit [mm]\partial[/mm] = Heavisidefunktion)

Ich habe die Partialbruchzerlegung widerum nicht geprüft. Du kannst das allerdings auch selbst ganz leicht in Wolframalpha machen.

Wir gehen jetzt einfach mal davon aus, dass du richtig gerechnet hast.
Für diesen Fall wäre deine diskrte Funktion falsch.

Die "1" im z-Bereich wird zur !nicht! verschobenen Delta Funktion im diskreten Bereich.

Der Term: [mm] $3(-1)^{k-1}\partial [/mm] (k-1)$ sollte nur einmal im Ergebnis auftauchen.

Ausßerdem fehlt die zwingende Angabe des Konvergenzbereichs.

Der Rest ist in Ordnung.

Bezug
                                                
Bezug
inverse z-Transformation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:34 Mo 13.01.2014
Autor: MrTob

Dankeschön, ja habe mich verschrieben und den Term doppelt gepostet.
Klar, 1 [mm] \mapsto \delta(k) [/mm] ist  ja eine andere Korrespondenz und wird somit nicht verschoben. Ich bin ein Idiot^^


Bezug
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