invertierbare Jacobimatrix < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien folgende Funktionen definiert:
[mm] f_{1} [/mm] : [mm] \IR^2 \to \IR^2, \vektor{x \\ y} \mapsto \vektor{x^2 \\ y} [/mm] und
[mm] f_{2} [/mm] : [mm] \IR^2 \to \IR^2, \vektor{x \\ y} \mapsto \vektor{(x^2 + y^2 - 1)x \\ (x^2 + y^2 - 1)y}
[/mm]
(i) Geben Sie jeweils für [mm] g_{1} [/mm] und [mm] g_{2} [/mm] alle Punkte an, bei welchen die zughörige Jacobimatrix invertierbar ist.
(ii) Argumentieren Sie, dass [mm] g_{1} [/mm] und [mm] g_{2} [/mm] in einer Umgebung von a:=(1,1) invertierbar sind und berechnen Sie [mm] (g_{1}^{-1})'(a) [/mm] und [mm] (g_{2}^{-1})'(a) [/mm] |
Hallo alle zusammen,
ich muss die obige Aufgabe lösen und dafür bräuchte ich paar Tipps.
Zu (i): Vorerst berechne ich die partiellen Ableitungen, welche zur Jacobimatrix führt. Aber wie zeige ich dann, dass die Jacobimatrix invertierbar ist? genügt es die Invertierbarkeit mit der Determinante zu zeigen?
zu (ii) vgl. (i)
Freue mich schon auch eure Beiträge und die nützlichen Tipps.
Viele Grüße, favourite
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:23 Do 06.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Seien folgende Funktionen definiert:
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> [mm]f_{1}[/mm] : [mm]\IR^2 \to \IR^2, \vektor{x \\ y} \mapsto \vektor{x^2 \\ y}[/mm]
> und
> [mm]f_{2}[/mm] : [mm]\IR^2 \to \IR^2, \vektor{x \\ y} \mapsto \vektor{(x^2 + y^2 - 1)x \\ (x^2 + y^2 - 1)y}[/mm]
>
> (i) Geben Sie jeweils für [mm]g_{1}[/mm] und [mm]g_{2}[/mm] alle Punkte an,
> bei welchen die zughörige Jacobimatrix invertierbar ist.
> (ii) Argumentieren Sie, dass [mm]g_{1}[/mm] und [mm]g_{2}[/mm] in einer
> Umgebung von a:=(1,1) invertierbar sind und berechnen Sie
> [mm](g_{1}^{-1})'(a)[/mm] und [mm](g_{2}^{-1})'(a)[/mm]
> Hallo alle zusammen,
>
> ich muss die obige Aufgabe lösen und dafür bräuchte ich
> paar Tipps.
>
> Zu (i): Vorerst berechne ich die partiellen Ableitungen,
> welche zur Jacobimatrix führt. Aber wie zeige ich dann,
> dass die Jacobimatrix invertierbar ist? genügt es die
> Invertierbarkeit mit der Determinante zu zeigen?
Ja
>
> zu (ii) vgl. (i)
Schau Dir den Umkehrsatz an !
FRED
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> Freue mich schon auch eure Beiträge und die nützlichen
> Tipps.
>
> Viele Grüße, favourite
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Hallo FRED,
ich habe wie beschrieben die Aufgabe gelöst. Jedoch steht in der Aufgabe Teil i), dass für jeweils [mm] g_{1} [/mm] und [mm] g_{2} [/mm] Punkte anzugeben sind, bei welchen die zughörige Jacobimatrix invertierbar ist.
Habe ich die Punkte mit der Determinante angegeben?! Das verwirrt ein wenig...
für [mm] g_{1} [/mm] kommt als Determinante 2x raus
für [mm] g_{2} [/mm] kommt als Deteminante [mm] 3x^4 [/mm] + [mm] 3y^4 [/mm] + [mm] 6x^2y^2 [/mm] - [mm] 4x^2 [/mm] - [mm] 4y^2 [/mm] + 1 (falls richtig, kann man das noch vereinfachen?)
also beide ungleich Null und somit invertierbar.
Gruß, favourite
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