invertierbare Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:05 Fr 14.04.2006 | | Autor: | Hanna80 |
| Aufgabe | Zeige für A [mm] \in k^{nxn} [/mm] :
Für n [mm] \ge [/mm] 2 gibt es keine invertierbare Matrix S, so dass [mm] S^{-1}AS [/mm] = [mm] A^T [/mm] für alle Matrizen gleichzeitig gilt. |
Hallo!
Ich habe schon gezeigt, dass A und [mm] A^T [/mm] ähnlich sind. (Falls mir das hier helfen sollte)
Ich habe den Tipp bekommen ein Gegenbeispiel zu finden und dass dann zu verallgemeinern. Aber da komm ich gar nicht weiter. Es ex. ja für jede Matrix A so ein S. Wie soll ich aber zeigen, dass dieses S nicht immer das selbe ist?
Wenn ich jetzt annehme es existiert ein S für das [mm] S^{-1}AS = A^T [/mm] für alle Matrizen gleichzeitig gilt.
[mm] [mm] \Rightarrow S^{-1}BS [/mm] = [mm] B^T [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] S ist Permutationsmatrix zum Transponieren.
und S wäre ähnlich zu jeder Matrix [mm] \in k^{nxn} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] jede Matrix wäre ähnlich zu jeder anderen. (da Äquivalenzrelation)
[mm] \Rightarrow [/mm] jede Matrix hätte die gleiche RNF
Ist das schon ein Widerspruch?
Danke fürs drübergucken.
Schöne Grüße
Hanna
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:10 Fr 14.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Hanna!
> Zeige für A [mm]\in k^{nxn}[/mm] :
> Für n [mm]\ge[/mm] 2 gibt es keine invertierbare Matrix S, so dass
> [mm]S^{-1}AS[/mm] = [mm]A^T[/mm] für alle Matrizen gleichzeitig gilt.
> Hallo!
>
> Ich habe schon gezeigt, dass A und [mm]A^T[/mm] ähnlich sind. (Falls
> mir das hier helfen sollte)
> Ich habe den Tipp bekommen ein Gegenbeispiel zu finden und
> dass dann zu verallgemeinern. Aber da komm ich gar nicht
> weiter. Es ex. ja für jede Matrix A so ein S. Wie soll ich
> aber zeigen, dass dieses S nicht immer das selbe ist?
>
> Wenn ich jetzt annehme es existiert ein S für das [mm]S^{-1}AS = A^T[/mm]
> für alle Matrizen gleichzeitig gilt.
> [mm][mm]\Rightarrow S^{-1}BS[/mm] = [mm]B^T[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] S ist Permutationsmatrix zum Transponieren.
Warum ist $S$ eine Permutationsmatrix?
> und S wäre ähnlich zu jeder Matrix [mm]\in k^{nxn}[/mm]
Wieso sollte das so sein?
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:33 Sa 15.04.2006 | | Autor: | Hanna80 |
Hallo!
Ich dachte, wenn ich immer die gleiche Matrix dazu verwenden kann, um eine andere Matrix in eine bestimmte Form zu überführen, habe ich eine Permutationsmatrix. Aber Permutationsmatrizen bestehen nur aus Einheitsvektoren, oder?
S müßte aber symmetrisch sein. Da [mm] S^{-1}SS = S^T [/mm] und daher [mm] S = S^T [/mm].
Ich weiß nicht weiter. Hast du vielleicht einen Tipp? Ich denke ich muß benutzen, dass die rationale normalform von A und [mm] A^T [/mm] gleich sind.
Schöne Grüße
Hanna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:47 Sa 15.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Hanna!
> Ich dachte, wenn ich immer die gleiche Matrix dazu
> verwenden kann, um eine andere Matrix in eine bestimmte
> Form zu überführen, habe ich eine Permutationsmatrix.
Ich denke nicht dass das stimmt.
> Aber Permutationsmatrizen bestehen nur aus Einheitsvektoren, oder?
Permutationsmatrizen sind Matrizen, die in jeder Zeile und Spalte jeweils genau eine Eins und sonst nur Nullen haben. Also sie bestehen sozusagen nur aus Einheitsvektoren 
> S müßte aber symmetrisch sein. Da [mm]S^{-1}SS = S^T[/mm] und daher
> [mm]S = S^T [/mm].
Genau.
> Ich weiß nicht weiter. Hast du vielleicht einen Tipp? Ich
> denke ich muß benutzen, dass die rationale normalform von A
> und [mm]A^T[/mm] gleich sind.
Ich weiss nicht ob das was bringt.
Versuch doch mal als $A$ die Matrizen von dem Typ [mm] $E_{i,j}$ [/mm] nehmen, die nur an der Stelle $(i, j)$ eine Eins und sonst nur Nullen haben (und form die Gleichheit $S A [mm] S^{-1} [/mm] = [mm] A^T$ [/mm] vorher nach $S A = [mm] A^T [/mm] S$ um). Vielleicht bekommst du damit schon genug Bedingungen an die Eintraege von $S$, um einen Widerspruch herzuleiten.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Do 20.04.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:33 Do 20.04.2006 | | Autor: | Hanna80 |
Hallo matux!
Ich habe ja nach der Mitteilung von felixf noch eine Frage gestellt und mit der Antwort, die ich erhalten habe, waren beide Fragen beantwortet. Ich hab versucht die Frage als beantwortet zu markieren oder das Fälligkeitsdatum herauszunehmen. Das hat aber nicht funkltioniert.
Wie soll ich das nächste mal vorgehen?
Ich finde übrigens, dass man bei euch erstaunlich schnell gute Antworten bekommt.
Schöne Grüße
hanna
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