irreduzibel < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Mi 11.11.2009 | | Autor: | moerni |
| Aufgabe | | Für welche n in [mm] \mathbb [/mm] N ist das Polynom [mm] q_n:=x_1x_2+x_3x_4+...+x_{2n-1}x_{2n} [/mm] irreduzibel im Polynomring [mm] \mathbb C[x_1,...,x_{2n}]? [/mm] |
Hallo.
Ich verstehe die Aufgabe nicht so ganz. Der Polynomring [mm] \mathbb C[x_1,...,x_{2n}] [/mm] enthält ja 2n verschiedene Variablen, die im Polynom [mm] q_n [/mm] jeweils nur in der Potenz 1 auftreten, also jedes einzelne irreduzibel ist. Ich würde behaupten, dass [mm] q_n [/mm] für kein n reduzibel ist und vielleicht eine Induktion machen? Oder sehe ich die ganze Aufgabe falsch?
Über eine Antwort würde ich mich freuen,
moerni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:33 Mi 11.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo moerni!
> Für welche n in [mm]\mathbb[/mm] N ist das Polynom
> [mm]q_n:=x_1x_2+x_3x_4+...+x_{2n-1}x_{2n}[/mm] irreduzibel im
> Polynomring [mm]\mathbb C[x_1,...,x_{2n}]?[/mm]
>
> Hallo.
> Ich verstehe die Aufgabe nicht so ganz. Der Polynomring
> [mm]\mathbb C[x_1,...,x_{2n}][/mm] enthält ja 2n verschiedene
> Variablen, die im Polynom [mm]q_n[/mm] jeweils nur in der Potenz 1
> auftreten,
Ja.
> also jedes einzelne irreduzibel ist.
Was willst du damit sagen?
> Ich würde behaupten, dass [mm]q_n[/mm] für kein n reduzibel ist und
> vielleicht eine Induktion machen? Oder sehe ich die ganze
> Aufgabe falsch?
Nun, fuer $n = 1$ ist es definitiv reduzibel. Fuer $n > 1$ jedoch nicht. Kennst du das Irreduzibilitaets-Kriterium, wo du einen Homomorphismus [mm] $\varphi [/mm] : R[x] [mm] \to [/mm] S[x]$ hast mit bestimmten Bedingungen? Damit kannst du [mm] $q_n$ [/mm] zu einem Polynom von Grad 1 ueber [mm] $\IC[x]$ [/mm] zurueckfuehren, welches irreduzibel ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:09 Do 12.11.2009 | | Autor: | moerni |
> >... 2n verschiedene Variablen, die im Polynom [mm]q_n[/mm] jeweils nur > > in der Potenz 1
> > auftreten,
> > also jedes einzelne irreduzibel ist.
>
> Was willst du damit sagen?
Ich hab mir nur gedacht, wenn die Variablen z.b. Grad 2 hätten, könnte es vielleicht eine Zerlegung in Grad 1 geben.
>
> Nun, fuer [mm]n = 1[/mm] ist es definitiv reduzibel.
Ach ja, stimmt. Das hatte ich übersehen.
> Fuer [mm]n > 1[/mm]
> jedoch nicht. Kennst du das Irreduzibilitaets-Kriterium, wo
> du einen Homomorphismus [mm]\varphi : R[x] \to S[x][/mm] hast mit
> bestimmten Bedingungen? Damit kannst du [mm]q_n[/mm] zu einem
> Polynom von Grad 1 ueber [mm]\IC[x][/mm] zurueckfuehren, welches
> irreduzibel ist.
Nein, dieses Kriterium kenne ich nicht. Hast du da vielleicht einen Link dazu? Hat das vielleicht damit zu tun, dass [mm] \mathbb C[x_1,...,x_{2n}] [/mm] isomorph zu [mm] \mathbb C[x_1,...x_{2n-1}][x_{2n}] [/mm] ist?
grüße, moerni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:27 Do 12.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > >... 2n verschiedene Variablen, die im Polynom [mm]q_n[/mm] jeweils nur
> > > in der Potenz 1
> > > auftreten,
> > > also jedes einzelne irreduzibel ist.
> >
> > Was willst du damit sagen?
>
> Ich hab mir nur gedacht, wenn die Variablen z.b. Grad 2
> hätten, könnte es vielleicht eine Zerlegung in Grad 1
> geben.
Ach so.
Ja, das hilft schon weiter. Mehr siehe unten.
> > Nun, fuer [mm]n = 1[/mm] ist es definitiv reduzibel.
> Ach ja, stimmt. Das hatte ich übersehen.
>
> > Fuer [mm]n > 1[/mm]
> > jedoch nicht. Kennst du das Irreduzibilitaets-Kriterium, wo
> > du einen Homomorphismus [mm]\varphi : R[x] \to S[x][/mm] hast mit
> > bestimmten Bedingungen? Damit kannst du [mm]q_n[/mm] zu einem
> > Polynom von Grad 1 ueber [mm]\IC[x][/mm] zurueckfuehren, welches
> > irreduzibel ist.
>
> Nein, dieses Kriterium kenne ich nicht. Hast du da
> vielleicht einen Link dazu?
Hmm, nicht direkt, aber ![[]](/images/popup.gif) das hier ist ein Spezialfall dazu.
Allgemein gilt: ist [mm] $\varphi [/mm] : R [mm] \to [/mm] S$ ein Ringhomomorphismus, $R$ ein Integritaetsring, ist $f [mm] \in [/mm] R[x]$ ein primitives Polynom (d.h. 1 ist ggT der Koeffizienten) und der hoechste Koeffizient von $f$ nicht im Kern von [mm] $\varphi$, [/mm] und ist [mm] $\varphi(f)$ [/mm] irreduzibel, so auch $f$ selber.
> Hat das vielleicht damit zu
> tun, dass [mm]\mathbb C[x_1,...,x_{2n}][/mm] isomorph zu [mm]\mathbb C[x_1,...x_{2n-1}][x_{2n}][/mm]
> ist?
Ja. Du wuerdest hier [mm] $\varphi_n [/mm] : [mm] \IC[x_1, \dots, x_{2n-1}] \to \IC$ [/mm] waehlen und [mm] $x_1, x_2, x_{2n-1}$ [/mm] auf 1 abbilden und die restlichen auf 0: das Bild von [mm] $q_n$ [/mm] unter [mm] $\varphi_n$ [/mm] ist dann [mm] $x_{2n} [/mm] - 1 [mm] \in \IC[x_{2n}]$, [/mm] und das ist klar irreduzibel.
Hier wirst du jedoch direkt vorgehen muessen. Seien [mm] $g_1, g_2 \in \IC[x_1, \dots, x_{2n}]$ [/mm] mit [mm] $g_1 g_2 [/mm] = [mm] q_n$. [/mm] Dann gilt [mm] $\deg_{x_{2n}} g_1 [/mm] + [mm] \deg_{x_{2n}} g_2 [/mm] = [mm] \deg_{x_{2n}} q_n [/mm] = 1$ (wobei [mm] $\deg_{x_{2n}}$ [/mm] die Gradfunktion auf [mm] $(\IC[x_1, \dots, x_{2n-1}])[x_{2n}]$ [/mm] ist). Also muss eines der beiden Polynome in [mm] $\IC[x_1, \dots, x_{2n-1}]$ [/mm] liegen. Wie sieht dann der Leitkoeffizient von [mm] $q_n$ [/mm] in [mm] $(\IC[x_1, \dots, x_{2n-1}])[x_{2n}]$ [/mm] aus? Was besagt das ueber [mm] $g_1$ [/mm] bzw. [mm] $g_2$ [/mm] (das mit [mm] $\deg_{x_{2n}} g_i [/mm] = 0$)?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Do 12.11.2009 | | Autor: | moerni |
Hallo.
Vielen Dank erstmal für die Hilfe! Echt toll!
>
> Hier wirst du jedoch direkt vorgehen muessen. Seien [mm]g_1, g_2 \in \IC[x_1, \dots, x_{2n}][/mm]
> mit [mm]g_1 g_2 = q_n[/mm]. Dann gilt [mm]\deg_{x_{2n}} g_1 + \deg_{x_{2n}} g_2 = \deg_{x_{2n}} q_n = 1[/mm]
> (wobei [mm]\deg_{x_{2n}}[/mm] die Gradfunktion auf [mm](\IC[x_1, \dots, x_{2n-1}])[x_{2n}][/mm]
> ist). Also muss eines der beiden Polynome in [mm]\IC[x_1, \dots, x_{2n-1}][/mm]
> liegen. Wie sieht dann der Leitkoeffizient von [mm]q_n[/mm] in
> [mm](\IC[x_1, \dots, x_{2n-1}])[x_{2n}][/mm] aus? Was besagt das
> ueber [mm]g_1[/mm] bzw. [mm]g_2[/mm] (das mit [mm]\deg_{x_{2n}} g_i = 0[/mm])?
>
Angenommen [mm] deg_{x_{2n}}g_2 [/mm] ist 1. Ist das also dann so, dass der Leitkoeffizient von [mm] q_n [/mm] gleich [mm] x_{2n-1} [/mm] ist? Dieser müsste als Produkt entstehen aus dem Koeffizienten von [mm] g_2 [/mm] und einem Polynom aus [mm] C[x_1,...,x_{2n-1}]. [/mm] Dann wäre aber der Koeffizient von [mm] g_2 [/mm] gleich [mm] x_{2n-1} [/mm] und [mm] g_1=1, [/mm] weil [mm] x_{2n-1} [/mm] irreduzibel ist. dann wäre also [mm] g_1=1, [/mm] also [mm] q_n [/mm] irreduzibel. Fertig?
Lg, moerni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:09 Do 12.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Hier wirst du jedoch direkt vorgehen muessen. Seien [mm]g_1, g_2 \in \IC[x_1, \dots, x_{2n}][/mm]
> > mit [mm]g_1 g_2 = q_n[/mm]. Dann gilt [mm]\deg_{x_{2n}} g_1 + \deg_{x_{2n}} g_2 = \deg_{x_{2n}} q_n = 1[/mm]
> > (wobei [mm]\deg_{x_{2n}}[/mm] die Gradfunktion auf [mm](\IC[x_1, \dots, x_{2n-1}])[x_{2n}][/mm]
> > ist). Also muss eines der beiden Polynome in [mm]\IC[x_1, \dots, x_{2n-1}][/mm]
> > liegen. Wie sieht dann der Leitkoeffizient von [mm]q_n[/mm] in
> > [mm](\IC[x_1, \dots, x_{2n-1}])[x_{2n}][/mm] aus? Was besagt das
> > ueber [mm]g_1[/mm] bzw. [mm]g_2[/mm] (das mit [mm]\deg_{x_{2n}} g_i = 0[/mm])?
>
> Angenommen [mm]deg_{x_{2n}}g_2[/mm] ist 1. Ist das also dann so,
> dass der Leitkoeffizient von [mm]q_n[/mm] gleich [mm]x_{2n-1}[/mm] ist?
Ja.
> Dieser müsste als Produkt entstehen aus dem Koeffizienten
> von [mm]g_2[/mm] und einem Polynom aus [mm]C[x_1,...,x_{2n-1}].[/mm]
Dieses Polynom ist dann [mm] $g_1$.
[/mm]
> Dann
> wäre aber der Koeffizient von [mm]g_2[/mm] gleich [mm]x_{2n-1}[/mm] und
> [mm]g_1=1,[/mm] weil [mm]x_{2n-1}[/mm] irreduzibel ist. dann wäre also
> [mm]g_1=1,[/mm] also [mm]q_n[/mm] irreduzibel. Fertig?
Oder [mm] $g_1 [/mm] = [mm] x_{2n-1}$ [/mm] und der Leitkoeff. von [mm] $g_2$ [/mm] ist 1. Und Konstanten [mm] $\neq [/mm] 1$ koennen ja auch noch mit dabei sein (aber die kann man wegmultiplizieren).
Jetzt kannst du zumindest beide Faelle getrennt betrachten.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:13 Fr 13.11.2009 | | Autor: | moerni |
super, vielen Dank!
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