irreduzibel richtig? < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:44 Di 28.03.2006 | | Autor: | cycilia |
| Aufgabe | | f = [mm] 3x^5-15x^4+30x^2-105x+255 [/mm] irreduzibel in [mm] \IZ[X] [/mm] bzw. [mm] \IQ[X] [/mm] ? |
also ich würde das Polynom so schreiben:
f = [mm] 3(x^5-5x^4+10x^2-35x+75)
[/mm]
mit Eisenstein ist das in der Klammer ireduzibel in beiden Ringen - bleibt also nur die 3 zu betrachten. In [mm] \IZ[X] [/mm] ist 3 keine Einheit, das Polynom auch nicht, also ist es in [mm] \IZ[X] [/mm] nicht irreduzibel.
In [mm] \IQ[X] [/mm] hingegen ist 3 eine Einheit, also irreduzibel.
Richtig?
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Hallo,
wir wäre es denn, mal die 5 zu betrachten?
Also
5 ist nicht Teiler von 3
5 ist Teiler von 15,30,105,255
25 ist nicht Teiler von 255
Damit ist das irreduzibel in [mm] \IQ[x] [/mm] und zwar nach Eisenstein.
Damit ist es aber auch in [mm] \IZ[x] [/mm] irreduzibel!
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 Di 28.03.2006 | | Autor: | cycilia |
Nein, da würdest du das Eisensteinkriterium anwenden. Dieses ist aber nur für primitive Polynome formuliert. Hier ist der ggT aber = 3, also darf ich Eisenstein nicht anwenden.
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Hallo,
ich habe gerade noch mal nachgelesen und als Voraussetzung braucht man kein primitives Polynom. Ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten ist in [mm] \IQ[x] [/mm] irredduzibel, wenn folg. Teilbarkeitsbedingungen erfüllt sind:...!
VG Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 Di 28.03.2006 | | Autor: | cycilia |
ist mir unverständlich.... bei uns in der Vorlesung und in dem Buch Algebra (Bosch) ist es ausdrücklich über primitive Polynome formuliert. Und der Begriff irreduzibel ist folgendermassen definiert:
p heißt irreduzibel, wenn für jede Zerlegung p = xy folgt dass entweder x oder y eine Einheit ist.
Wie ich geschrieben hatte, ist 3 aber in [mm] \IZ [/mm] keine Einheit und das restliche Polynom ja eh nicht.
WEnn es insgesamt irreduzibel wäre, dann wäre das doch ein Widerspruch zu dieser Definition?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Di 28.03.2006 | | Autor: | cycilia |
Ich glaube, es ist so: wenn es ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizieten ist, dann kann man das Eisensteinsche Kriterium anwenden, um zu schauen, ob es irreduzibel in [mm] \IQ[X] [/mm] ist.
wenn es zusätzlich noch ein primitives Polynom ist, dann ist es auch irreduzibel in [mm] \IZ[X]..
[/mm]
war dann mein erster Ansatz richtig?
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Hallo,
das hört sich zumindest schon besser an. Wir hatten aber damals den Satz, dass, wenn f irreduzibel in [mm] \IZ[x]\gdw [/mm] f irreduzibel in [mm] \IQ[x].
[/mm]
Also ist das völlig egal. Dein Ansatz greift dann aber.
VG Daniel
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:01 Di 28.03.2006 | | Autor: | cycilia |
Diese Folgerung versteh ich nun aber mal gar nicht....
angenommen ich habe das Polynom [mm] 4x^2-1
[/mm]
in [mm] \IQ[X] [/mm] ist dieses reduzibel = 4(x-0,5)(x+0,5)
in [mm] \IZ[X] [/mm] ist es irreduzibel, da die beiden Nullstellen ja nicht in [mm] \IZ [/mm] liegen.
??????
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:37 Di 28.03.2006 | | Autor: | cycilia |
Sorry das ist natürlich auch in [mm] \IZ [/mm] zerlegbar (2x+1)(2x-1)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:37 Fr 31.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> das hört sich zumindest schon besser an. Wir hatten aber
> damals den Satz, dass, wenn f irreduzibel in [mm]\IZ[x]\gdw[/mm] f
> irreduzibel in [mm]\IQ[x].[/mm]
Das gilt nur, wenn $f$ primitiv ist.
LG Felix
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Hallo,
ich kenne folg. Definition von irreduzibel:
f heißt irreduzibel [mm] \gdw [/mm] f ist nicht darstellbar als Produkt zweier nichtkonstanter Polynome.
Da 3 aber ein konstantes Polynom ist, ist genau diese Bedingung erfüllt. Man könnte jetzt noch versuchen andere Teiler zu finden. Wenn man keine findet, ist es irreduzibel nach Definition.
Und für das Eisensteinkriterium habe ich gerade noch 2 weitere Bücher und das Internet befragt, es steht nirgends etwas von primitiv als Voraussetzung. Das wäre mir auch völlig neu!
Es ist ja nicht falsch das so zu setzen, aber ich denke, dass Eisenstein mehr Polynome, als nur die primitiven, greift!
Viele Grüße
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:47 Di 28.03.2006 | | Autor: | cycilia |
klar, mit der von dir genannten def. von irreduzibel ist das logisch. Es geht ja nur um diese 3 *g* ....
ich hab mittlerweile auch n 3 Büchern nachgeschaut, 2 setzen primitiv voraus, das dritte sagt dass man bei ganzzahligen Koeff. nur irreduziebel in [mm] \IQ[X] [/mm] folgern kann.
was ich mich frage ist, warum gibt es zwei offensichtlich unterschiedliche Definitionen von irreduzibel?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:43 Fr 31.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ich kenne folg. Definition von irreduzibel:
>
> f heißt irreduzibel [mm]\gdw[/mm] f ist nicht darstellbar als
> Produkt zweier nichtkonstanter Polynome.
Das ist aber eine sehr ungewoehnliche Definition. Fuer Polynome ueber Koerpern passt sie, aber fuer alle anderen Polynomringe halt nicht... Und vor allen Dingen vertraegt sie sich nicht mit der gewoehnlichen Definition von irreduziblen Elementen in Integritaetsringen...
> Und für das Eisensteinkriterium habe ich gerade noch 2
> weitere Bücher und das Internet befragt, es steht nirgends
> etwas von primitiv als Voraussetzung. Das wäre mir auch
> völlig neu!
Ich hab grad mal in meiner Vorlesungsmitschrift nachtgeschaut, und da steht: ``Satz (Kriterium von Eisenstein). Sei $f [mm] \in [/mm] R[x]$ ein primitives Polynom und ...''
> Es ist ja nicht falsch das so zu setzen, aber ich denke,
> dass Eisenstein mehr Polynome, als nur die primitiven,
> greift!
Bei deiner (nicht-standard) Definition von unzerlegbar ja...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:22 Fr 31.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> f = [mm]3x^5-15x^4+30x^2-105x+255[/mm] irreduzibel in [mm]\IZ[X][/mm] bzw.
> [mm]\IQ[X][/mm] ?
> also ich würde das Polynom so schreiben:
>
> f = [mm]3(x^5-5x^4+10x^2-35x+75)[/mm]
>
> mit Eisenstein ist das in der Klammer ireduzibel in beiden
> Ringen - bleibt also nur die 3 zu betrachten. In [mm]\IZ[X][/mm]
> ist 3 keine Einheit, das Polynom auch nicht, also ist es in
> [mm]\IZ[X][/mm] nicht irreduzibel.
>
> In [mm]\IQ[X][/mm] hingegen ist 3 eine Einheit, also irreduzibel.
> Richtig?
Ja, das ist richtig!
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:24 Fr 31.03.2006 | | Autor: | topotyp |
denke ich auch...bis auf die (unwichtige?) tatsache dass 3*75 nicht 255 ist!
Ich fasse es noch mal für mich zusammen und hier gibt's noch das
Eisensteinsche Kriterium in seiner Allgemeinheit:
Eisenstein:
Sei R ein Hauptidealring und K sein Quotientenkörper. Hat
dann [mm] f(x)=a_nX^n+...+a_0 \in [/mm] R[X] einen Grad [mm] n\geq [/mm] 1, und gibt es ein
Primelement p [mm] \in [/mm] R mit
p | [mm] a_0,...,a_{n-1}
[/mm]
p teilt nicht [mm] a_n
[/mm]
[mm] p^2 [/mm] teilt nicht [mm] a_0
[/mm]
dann ist f irreduzibel in K[X]. (Nicht aber notw. in R[X]!)
In unserem Fall R=Z und K=Q. Nehme p=5. (wenn 255 die richtige Zahl ist!)
Daher ist nach Eisenstein das Polynom über Q[X] irreduzibel.
Aber wie ihr schon gesagt habt, ist natürlich
3 * (Rest) eine nichttriviale Zerlegung in Z[X], denn 3 ist keine Einheit des Ringes Z[X].
Also polynom über Z[X] reduzibel. Eigentlich ne coole Aufgabe!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:42 Fr 31.03.2006 | | Autor: | cycilia |
:) Danke :) Dann ist das klar: 3*75 = 225.... *g*
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