irreduzibeles Polynom < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 So 22.02.2009 | | Autor: | valaida |
| Aufgabe | Es sei f(x) = [mm] x^4+4x^3+6x^2+6x+5. [/mm] Verwenden Sie das Eisenstein-Kriterium, um zu zeigen, dass f(x) über [mm] \IQ [/mm] irreduzibel ist
Beweis:
Es ist f(x-1) = ... = [mm] x^4+2x+2
[/mm]
Nach Eisenstein ist [mm] g(y):=y^4+2y+2 [/mm] irreduzivel => f(x) = g(x+1) irreduzibel
1. Frage Warum wird bei f gerade x-1 eingesetzt?
2. Frage Bei Eisenstein muss doch ein primelement p genommen werden, das [mm] a_0 [/mm] und [mm] a_1 [/mm] (in dem Fall), aber [mm] a_2 [/mm] nicht teilen darf. WElches PRimelement wurde denn hier genommen? Anscheinend ja '2', aber warum? |
Hallo.
Wer hilft?
Dank schon mal
valaida
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:44 So 22.02.2009 | | Autor: | SEcki |
> 1. Frage Warum wird bei f gerade x-1 eingesetzt?
Eine beliebte Methode Sachen zu vereinfachen - es geht halt damit gut, aber wie man das wohlmöglich sofort sehen kann - weiß da wer mehr?
> 2. Frage Bei Eisenstein muss doch ein primelement p
> genommen werden, das [mm]a_0[/mm] und [mm]a_1[/mm] (in dem Fall), aber [mm]a_2[/mm]
> nicht teilen darf. WElches PRimelement wurde denn hier
> genommen? Anscheinend ja '2', aber warum?
Genau, 2. Dies erfüllt ja sofort die Bedingung des Kriteriums, also nimmt man diese - ein anderes Primelement erfüllt dies ja nicht - es teilt alle Koeffizienten, bis auf den Leitkoeffizienten, allerdings teilt das Quadrat den des konstanten Teils nicht!
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 So 22.02.2009 | | Autor: | Jorgi |
zu 1)
Man nutzt folgendes aus:
$f(X)$ irreduzibel [mm] $\gdw [/mm] f(X-1)$ irreduzibel
Indem man dann $X-1$ in f substituiert, erreicht man, dass die Voaussetzungen von Eisenstein erfüllt sind.
Dass man gerade $X-1$ substituieren muss, ist meiner Meinung nach nicht offensichtlich, sondern ein geschickter Trick.
Um zu zeigen, dass $p(X) = [mm] X^{p-1} [/mm] + [mm] X^{p-2} [/mm] + ... + X + 1$ , p prim, irreduzibel ist, betrachtet man z.B. $p(X+1)$ und kann dann Eisenstein anwenden
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:15 So 22.02.2009 | | Autor: | koyLe |
Genau, das ist einfach ein geschickter Trick. Wenn man ihn einmal gesehen hat, merkt man ihn sich gut und er kann sehr nützlich sein.
Falls du die Äquivalenz f(X) irred. <=> f(X-1) irred. noch nicht kennst, kannst du dir das folgendermaßen recht einfach klarmachen: Bastle dir den Ringhomomorphismus der ein Polynom f(X) auf f(X-1) schickt. Du stellst schnell fest, dass diese Abbildung z. B. bijektiv ist. Und nun kannst du ja mal annehmen, dass eins der Polynome f(X), f(X-1) irreduzibel ist. Dann muss es auch das andere sein.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:33 Mo 23.02.2009 | | Autor: | valaida |
Danke an alle. Die viele Beteiligung an dieser doch simplen Frage freut mich
valaida
|
|
|
|
