irreduzibeles Polynome normal < Algebraische Geometrie < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:03 Mo 23.01.2017 | | Autor: | Schobbi |
| Aufgabe | a. Zeigen Sie, dass der einzige Automorphismus von [mm] \IQ(\sqrt[3]{2}) [/mm] die Identität ist.
b. Zeigen Sie, dass jedes irreduzible Polynom [mm] p(X)\in\IQ[X] [/mm] höchstens eine Nullstelle in [mm] \IQ(\sqrt[3]{2}) [/mm] besitzt. Somit ist [mm] \IQ\subset\IQ(\sqrt[3]{2}) [/mm] nicht normal. |
Moin zusammen,
Mir fehlt für obige Aufgabe noch die zündende Idee bzw. einen geeigneten Ansatz wie ich sie bearbeiten kann. Vielleicht könnt ihr mir helfen.
Kann ich Aufgabenteil b wie folgt begründen?
Sei [mm] L=\IQ(\sqrt[3]{2}). [/mm] Das Minimalpolynom des erzeugten Elements ist dann [mm] X^3-2, [/mm] was offensichtlich komplexe Nullstellen hat, welche nicht in L liegen. Also ist die Körpererweiterung nicht normal.
um zu zeigen, dass p(X) höchstens eine Nullstelle in [mm] \IQ(\sqrt[3]{2}) [/mm] hat, kann ich doch erstmal sagen dass mit dem Haupsatz jedes Polynom über [mm] \IC [/mm] in Linearfaktoren zerfällt und somit auch mindestens eine Nullstelle in [mm] \IC [/mm] haben muss. Aber wie kann ich das höchstens und auf die Körpererweiterun bezogen zeigen?
Vielen Dank für Eure Anregungen und Hilfen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:38 Mo 23.01.2017 | | Autor: | hippias |
> a. Zeigen Sie, dass der einzige Automorphismus von
> [mm]\IQ(\sqrt[3]{2})[/mm] die Identität ist.
>
> b. Zeigen Sie, dass jedes irreduzible Polynom [mm]p(X)\in\IQ[X][/mm]
> höchstens eine Nullstelle in [mm]\IQ(\sqrt[3]{2})[/mm] besitzt.
> Somit ist [mm]\IQ\subset\IQ(\sqrt[3]{2})[/mm] nicht normal.
> Moin zusammen,
>
> Mir fehlt für obige Aufgabe noch die zündende Idee bzw.
> einen geeigneten Ansatz wie ich sie bearbeiten kann.
> Vielleicht könnt ihr mir helfen.
>
> Kann ich Aufgabenteil b wie folgt begründen?
> Sei [mm]L=\IQ(\sqrt[3]{2}).[/mm] Das Minimalpolynom des erzeugten
> Elements ist dann [mm]X^3-2,[/mm] was offensichtlich komplexe
> Nullstellen hat, welche nicht in L liegen. Also ist die
> Körpererweiterung nicht normal.
Die Begründung könnte als nicht ausführlich genug angesehen werden, ist aber richtig.
>
> um zu zeigen, dass p(X) höchstens eine Nullstelle in
> [mm]\IQ(\sqrt[3]{2})[/mm] hat, kann ich doch erstmal sagen dass mit
> dem Haupsatz jedes Polynom über [mm]\IC[/mm] in Linearfaktoren
> zerfällt und somit auch mindestens eine Nullstelle in [mm]\IC[/mm]
> haben muss.
O.K.
> Aber wie kann ich das höchstens und auf die
> Körpererweiterun bezogen zeigen?
Das verstehe ich nicht.
>
> Vielen Dank für Eure Anregungen und Hilfen
Tip: sind [mm] $\alpha$, $\beta$ [/mm] Nullstellen eines über $K$ irreduziblen Polynoms, so gibt es einen $K$-Isomorphismus, der [mm] $\alpha$ [/mm] auf [mm] $\beta$ [/mm] abbildet; beachte a)
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