irreduzibles Polynom < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:50 Fr 10.02.2012 | | Autor: | Physy |
| Aufgabe | | Zeige, dass [mm] f=x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 [/mm] irreduzibel in [mm] \IQ[X] [/mm] ist. |
Ich habe den Hinweis: Betrache f(X+1) und kenne nur das Einsteinkriterium. Warum es mir was bringen sollte, wenn ich f(x+1) betrachte weiß ich nicht...
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:01 Fr 10.02.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo Physy,
> Zeige, dass [mm]f=x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1[/mm] irreduzibel in [mm]\IQ[X][/mm]
> ist.
> Ich habe den Hinweis: Betrache f(X+1) und kenne nur das
> Einsteinkriterium. Warum es mir was bringen sollte, wenn
> ich f(x+1) betrachte weiß ich nicht...
Du meinst das Eisensteinkriterium.
Na, dann berechne doch mal $f(x+1)$! Wie du feststellen wirst, kann dann Eisenstein verwenden.
Lieben Gruß,
Fulla
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Fr 10.02.2012 | | Autor: | Physy |
Hallo und danke für die schnelle Antwort.
Das weiß ich aber warum kann ich das Eisensteinkriterium dann immer noch anwenden?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 Fr 10.02.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo und danke für die schnelle Antwort.
>
> Das weiß ich aber warum kann ich das Eisensteinkriterium
> dann immer noch anwenden?
1. Was kommt denn bei dir raus?
2. Weisst du, was das Eisensteinkriterium besagt?
Du musst schon etwas tun, damit wir dir helfen koennen, ohne dir gleich eine Loesung zur Aufgabe zu diktieren.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Fr 10.02.2012 | | Autor: | Physy |
Das Ergebnis ist [mm] x^6 [/mm] + [mm] 7x^5 [/mm] + [mm] 21x^4 [/mm] + [mm] 35x^3 [/mm] + [mm] 35x^2 [/mm] + 21x + 7 und das ist irreduzibel mit der Primzahl 7 gemäß dem Eisensteinkriterium. Aber wieso darf ich denn auch f(X+1) betrachten?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 Fr 10.02.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo Physy,
> Das Ergebnis ist [mm]x^6[/mm] + [mm]7x^5[/mm] + [mm]21x^4[/mm] + [mm]35x^3[/mm] + [mm]35x^2[/mm] + 21x +
> 7 und das ist irreduzibel mit der Primzahl 7 gemäß dem
> Eisensteinkriterium.
Das stimmt. Aber damit hast du erstmal nur die Irreduzibilität über [mm]\mathbb Z[X][/mm] gezeigt (zumindest kenne ich das Eisensteinkriterium so)...
> Aber wieso darf ich denn auch f(X+1)
> betrachten?
Angenommen du hast ein reduzibles Polynom [mm]p(X)=g(X)*h(X)[/mm]. Dann gilt doch auch [mm]p(X+1)=g(X+1)*h(X+1)[/mm], bzw. [mm]p(X-1)=g(X-1)*h(X-1)[/mm].
In deiner Aufgabe betrachten wir [mm]f(X)=X^6+X^5+X^4+X^3+X^2+1[/mm]. Angenommen es gäbe [mm]g,h[/mm] mit [mm]f(X)=g(X)*h(X)[/mm], dann folgt daraus [mm]f(X+1)=g(X+1)*h(X+1)[/mm], aber mit Eisenstein hast du gezeigt, dass [mm]f(X+1)[/mm] irreduzibel ist - und damit ist auch [mm]f(X)[/mm] irreduzibel.
Das ist ein beliebter Trick um Irreduzibilität zu zeigen. Du hättest auch [mm]f(X-1)[/mm] oder [mm]f(X+17)[/mm] betrachten können (ob Eisenstein da funktioniert, weiß ich nicht), aber du musst dabei sicherstellen, dass das Polynom in [mm]\mathbb Z [X][/mm] bleibt. [mm]f(X+\frac{1}{3})[/mm] wäre z.B. eine schlechte Wahl.
Lieben Gruß,
Fulla
|
|
|
|
