isomorph zu Körper C < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:30 So 10.12.2006 | | Autor: | VHN |
| Aufgabe | Sei K = [mm] \IR[X]/(aX^{2} [/mm] + bX + c) mit a [mm] \not= [/mm] 0. Für welche Tripel (a,b,c) [mm] \in \IR^{3}, [/mm] a [mm] \not= [/mm] 0, ist K ein Körper?
Zeige dann, dass K isomorph zum Körper [mm] \IC [/mm] der komplexen Zahlen ist. |
Hallo zusammen!
Ich weiß, dass diese Aufgabe ähnlich mit der Aufgabe "Quotientenring = Körper" ist, die ich vor einigen Tagen gepostet habe. Leider habe ich allerdings noch keine antwort darauf bekommen.
Ich würde mich freuen, wenn ihr mir bei dieser aufgabe, aber auch bei meiner vorigen Aufgabe helfen könntet und mich verbessern könnt.
Ich habe diese Aufgabe hier analog wie die die Aufgabe "Quotientenring = Körper"
(link -> http://www.matheforum.net/read?t=207820) gelöst.
nur, dass ich hier davon ausgehe, dass -1 kein Quadrat in [mm] \IR [/mm] ist anstatt [mm] \IQ. [/mm] ansonsten ist der beweis bis dahin gleich.
hier ist aber mein Problem.
ich habe nach dem Beweis dann ein Inverses, und zwar [mm] \bruch{1}{a^{2}+b^{2}} (a-b\overline{X}).
[/mm]
aber in diesem Inversen ist kein c. außerdem ergibt sich aus dem beweis, dass a [mm] \not= [/mm] 0 und b [mm] \not= [/mm] 0 gelten muss.
kann ich hier einfach sagen, dass c beliebig gewählt werden darf?
ich glaube, dass mein beweis nicht ganz stimmt. deswegen fehlt wohl auch das c.
ich hoffe, ihr könnt mir weitrhelfen bei dieser aufgabe. ich bin schon ganz verzweifelt.
beim beweis, dass K isomorph ist zu [mm] \IC [/mm] ist, kann ich dann die abbildung f wie folgt definieren?
f: K [mm] \to \IC [/mm] mit [mm] a+b\overline{X} \mapsto [/mm] a+ib
kann ich das so definieren?
wenn ja, muss ich dann doch zeigen, dass f ein homomorphismus ist, also [mm] f((a+b\overline{X})(c+d\overline{X})) [/mm] = [mm] f(a+b\overline{X}) f(c+d\overline{X}).
[/mm]
dann muss ich noch zeigen, dass f bijektiv ist.
stimmt das so? oder stimmt mein f schon überhaupt nicht?
Hoffentlich könnt ihr mir weiterhelfen. vielen dank!
VHN
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:26 So 10.12.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo VHN,
> Sei K = [mm]\IR[X]/(aX^{2}[/mm] + bX + c) mit a [mm]\not=[/mm] 0. Für welche
> Tripel (a,b,c) [mm]\in \IR^{3},[/mm] a [mm]\not=[/mm] 0, ist K ein Körper?
> Zeige dann, dass K isomorph zum Körper [mm]\IC[/mm] der komplexen
> Zahlen ist.
ohne dein Posting ganz gelesen zu haben: [mm] $\IR[X]/(f)$ [/mm] ist fuer ein Polynom $f [mm] \in \IR[X]$ [/mm] genau dann ein Koerper, wenn $f$ irreduzibel ueber [mm] $\IR$ [/mm] ist. Da das $f$ hier quadratisch ist, ist das genau dann der Fall, wenn die Nullstellen von $f$ nicht in [mm] $\IR$ [/mm] liegen. Damit solltest du weiterkommen.
Wenn du nicht weisst, warum die einzelnen Aequivalenzen gelten, denke erst darueber nach bzw. schau im Skript nach... (NB: ein Polynom in [mm] $\IR[X]$ [/mm] ist genau dann irreduzibel, wenn es prim ist.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:20 Mi 13.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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